Question

27、（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，AE，BF交于點(diǎn)O，∠AOF=90°．求證：AE=BF．
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、H、F、G分別在邊AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于點(diǎn)O，∠FOH=90°，EF=4．求GH的長(zhǎng)．
（3）如圖3，在矩形ABCD中，AB=3AD，點(diǎn)E、H、F、G分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于點(diǎn)O，∠FOH=90°，EF=4，求GH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠AOF=90°，利用同角的余角相等得出∠EAB=∠FBC，再根據(jù)ASA即可證出△FBC≌△EAB．
（2）可以認(rèn)為圖2中的線段GH、FE是由圖1中的線段AE、BF平移得到，故GH=FE=4．
（3）由于AB=3AD，可見圖3是由三個(gè)圖2的基本型轉(zhuǎn)化而來，據(jù)此即可解答．

解答：解：（1）∵∠AOF=90°，
∴∠OAB+∠FBA=90°，
又∵∠FBC+∠FBA=90°，
∴∠OAB=∠FBC．
又∵AB=BC，
∠ABE=∠BCF，
∴△ABE≌△BCF．
故AE=BF．
（2）∵圖2中的線段GH、FE是由圖1中的線段AE、BF平移得到，
即△ABE平移后得到△GKH，
△FBC平移后得到△FEL，
∴△GKH≌△FEL，
故GH=FE=4．
（3）把AB三等分，得到三個(gè)矩形，
將（2）過程重復(fù)，即得到GI=IJ=JH，
得GH=12．

點(diǎn)評(píng)：此題不僅考查了正方形的性質(zhì)，還考查了平移的性質(zhì)，將（2）（3）轉(zhuǎn)化為（1）是解題的關(guān)鍵．此題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的重要作用．