Question

拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）過點(diǎn)A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），頂點(diǎn)為M點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)M．
（2）試判斷拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使∠POM=90？若不存在，說明理由；若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），代入y=ax²+bx+c 中，列方程組求a、b、c的值，確定拋物線解析式，用配方法求頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）存在．設(shè)P（m，m²-4m），過P作PE⊥y軸，垂足為E；過M點(diǎn)作MF⊥y軸，垂足為F，利用互余關(guān)系證明∠EPO=∠FOM，可證Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求m的值即可．

解答：解：（1）將A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），代入y=ax²+bx+c 中，
得

a+b+c=-3 9a+3b+c=-3 a-b+c=5

，解得

a=1 b=-4 c=0

，
∴y=x²-4x，即y=（x-2）²-4，∴頂點(diǎn)M（2，-4）．（5分）

（2）設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)P，使OP⊥OM，其坐標(biāo)為（m，m²-4m），
過P作PE⊥y軸，垂足為E；過M點(diǎn)作MF⊥y軸，垂足為F．
則∠POE+∠MOF=90°，∠POE+∠EPO=90°，
∴∠EPO=∠FOM，
∵∠OEP=∠MFO=90°，
∴Rt△OEP∽Rt△MFO．
∴OE：MF=EP：OF．即（m²-4m）：2=m：4．
解得m₁=0（舍去），m₂=

9

2

．
故拋物線上存在一點(diǎn)P，使∠POM=90°，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

9

2

，

9

4

）．（8分）

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)求拋物線解析式，根據(jù)∠POM=90°構(gòu)造相似三角形，利用相似比求解．