【題目】如圖所示,已知AB的直徑,直線L相切于點(diǎn)C,CDABE,直線L,垂足為F,BFC

圖中哪條線段與AE相等?試證明你的結(jié)論;

,,求AB的值.

【答案】(1)見解析;(2)20.

【解析】

(1)觀察圖象知:只有FG的長(zhǎng)度與AE相當(dāng),可猜想AE=FG,然后著手證明它們相等;求簡(jiǎn)單的線段相等,通常是證線段所在的三角形全等,那么本題需要構(gòu)造全等三角形,連接AC、CG,然后證△AEC≌△GCF;連接BD,由于弧AC=AD,那么BA⊥CD,根據(jù)垂徑定理知∠D=∠BCE;由弦切角定理知∠FCB=∠D=∠DCB,那么它們的余角也相等,即∠FBC=∠EBC,那么弧CG=AC,即AC=CG,再由角平分線的性質(zhì)得CF=CE,根據(jù)HL即可判定所求的兩個(gè)三角形全等,由此得證.

(2)由弦切角定理知∠FCG=∠FBC,它們的正弦值也相等,即可在Rt△FCG中,求得CG的長(zhǎng),也就得到了AC的長(zhǎng),在Rt△ACB中,CE⊥AB,由射影定理即可得到AB的長(zhǎng).

解:(1)FG=AE,理由如下:

連接CG、AC、BD;

,

∴BA⊥CD,

,即∠D=∠BCD;

∵直線L切⊙OC,

∴∠BCF=∠D=∠BCD,

∴∠FBC=∠ABC,

,CE=CF;

∴AC=CG;

△ACE和△GCF中,AC=CG、CE=CF,∠AEC=∠CFG=90°,

∴Rt△AEC≌Rt△GCF,則AE=FG.

(2)∵FC切⊙OC,

∴∠FCG=∠FBC,即sin∠FCG=sin∠CBF=;

Rt△FCG中,FG=AE=4,CG=FG÷sin∠FCG=4

∴AC=CG=4;

Rt△ABC中,CE⊥AB,由射影定理得:

AC2=AEAB,即AB=AC2÷AE=20.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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求證:;

,當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí),求BF的長(zhǎng).

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A.
B.
C.
D.

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【題目】閱讀材料.

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(1)OA=  ,BD=  ;

(2)|1﹣(﹣4)|表示哪兩點(diǎn)的距離?

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