Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），∠AOC=45°，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作ED⊥x軸于點(diǎn)D，ED=1．
（1）求k的值；
（2）在反比例y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象上有一點(diǎn)F，若△ABF的面積等于?OABC面積的$\frac{1}{8}$，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用平行線的性質(zhì)得到∠ECD=45，則CD=DE=1，則可確定E點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出k的值；
（2）作AH⊥x軸于H，如圖，易得A（2，2），則可求出S_{平行四邊形ABCO}=6，設(shè)F（t，$\frac{4}{t}$），利用平行四邊形的性質(zhì)得AB∥OC，AB=OC=3，然后根據(jù)三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•3•|$\frac{4}{t}$-2|=$\frac{1}{8}$•6，再解絕對(duì)值方程求出t即可得到F點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵四邊形ABCO為平行四邊形，
∴OA∥BC，
∴∠BCD=∠AOC=45°，
在Rt△CDE中，∵∠ECD=45°，
∴CD=DE=1，
∵C（3，0），
∴E（4，1），
把E（4，1）代入y=$\frac{k}{x}$得k=4×1=4；
（2）作AH⊥x軸于H，如圖，
∵∠AOH=45°，
∴OH=AH，
設(shè)A（a，a），則a•a=4，解得a=2，
∴A（2，2），
∴S_{平行四邊形ABCO}=2×3=6，
設(shè)F（t，$\frac{4}{t}$），
∵四邊形ABCO為平行四邊形，
∴AB∥OC，AB=OC=3，
∵△ABF的面積等于?OABC面積的$\frac{1}{8}$，
∴$\frac{1}{2}$•3•|$\frac{4}{t}$-2|=$\frac{1}{8}$•6，解得t₁=$\frac{8}{3}$，t₂=$\frac{8}{5}$，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{8}{3}$，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{8}{5}$，$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)象坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不變．