Question

18．如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)，如果P，Q同時(shí)出發(fā)，用t表示移動(dòng)的時(shí)間（0≤t≤6），那么：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，QP的長(zhǎng)為4$\sqrt{2}$？
（2）求四邊形QAPC的面積，提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理得，QP²=AQ²+AP²，建立方程即可；
（2）求S_{四邊形QAPC}=S_{四邊形ABCD}-S_△CDQ-S_△BCP得到定值；
（3）由相似的判定，分兩種情況①當(dāng)△AQP∽△BCA時(shí)，②當(dāng)△AQP∽△BAC時(shí)，得到比例式，建立方程求解，即可．

解答 解：由題意有，DQ=t，AP=2t，∠DAB=90°，
∴AQ=6-t，
∵QP=4$\sqrt{2}$，
根據(jù)勾股定理得，QP²=AQ²+AP²，
∴（4$\sqrt{2}$）²=（6-t）²+（2t）²，
∴t=2或t=$\frac{2}{5}$．
（2）S_{四邊形QAPC}=S_{四邊形ABCD}-S_△CDQ-S_△BCP
=12×6-$\frac{12t}{2}$-$\frac{6（12-2t）}{2}$
=72-36-6t+6t
=36
當(dāng)$\frac{AP}{DQ}=\frac{AD}{AB}$ 時(shí)，四邊形QAPC的面積是個(gè)定值；
（3）∵以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
由（1）有AQ=6-t，AP=2t，且AB=12，BC=6
①當(dāng)△AQP∽△BCA時(shí)，有$\frac{AQ}{BC}=\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{12}$，
∴t=3，
②當(dāng)△AQP∽△BAC時(shí)，有$\frac{AQ}{AB}=\frac{AP}{BC}$，
∴$\frac{6-t}{12}=\frac{2t}{6}$，
∴t=$\frac{6}{5}$．
∴以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，有t=3或t=$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是相似形的綜合題，主要考查相似三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是①當(dāng)△AQP∽△BCA時(shí)②當(dāng)△AQP∽△BAC時(shí)，得到的比例式建立方程．