Question

如圖，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B=90°．以邊AC上的點O為圓心、OA為半徑的⊙O與EC相切，D為切點，AD∥BC．
（1）用尺規(guī)確定并標(biāo)出圓心O；（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）
（2）求證：∠E=∠ACB；
（3）若AD=1，，求BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）若⊙O與EC相切，且切點為D，可過D作EC的垂線，此垂線與AC的交點即為所求的O點．
（2）由（1）知OD⊥EC，則∠ODA、∠E同為∠ADE的余角，因此∠E=∠ODA=∠OAD，而AD∥BC，可得∠OAD=∠ACB，等量代換后即可證得∠E=∠ACB．
（3）由（2）證得∠E=∠ACB，即tan∠E=tan∠DAC=，那么BC=AB；由于AD∥BC，易證得△EAD∽△EBC，可用AB表示出AE、BC的長，根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求出AB的長，進而可得到BC的值．
解答：（1）解：（O即為AD中垂線與AC的交點）或（過D點作EC的垂線與AC的交點等）．
能見作圖痕跡，作圖基本準(zhǔn)確即可，漏標(biāo)O可不扣分（2分）


（2）證明：連接OD．∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠EAD=90°．
∴∠E+∠EDA=90°，即∠E=90°-∠EDA．
又∵圓O與EC相切于D點，∴OD⊥EC．
∴∠EDA+∠ODA=90°，即∠ODA=90°-∠EDA．
∴∠E=∠ODA；（3分）
（說明：任得出一個角相等都評1分）
又∵OD=OA，∴∠DAC=∠ODA，∴∠DAC=∠E． （4分）
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠E=∠ACB． （5分）

（3）解：Rt△DEA中，tanE=，又tanE=tan∠DAC=，
∵AD=1，∴EA=． （6分）
Rt△ABC中，tan∠ACB=，
又∠DAC=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠DAC．
∴=，∴可設(shè)AB=x，BC=2x，
∵AD∥BC，∴Rt△EAD∽Rt△EBC． （7分）
∴=，即=．
∴x=1，
∴BC=2x=2． （8分）
點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)等重要知識，能夠準(zhǔn)確的判斷出O點的位置，是解答此題的關(guān)鍵．