Question

如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，則AE=

 

，AD=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)已知條件判斷△ABD∽△DCE，利用相似三角形的性質(zhì)求出CE的長，進(jìn)而求出AE的長；借助余弦定理求出DE的長，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)求出AD的長．

解答：解：∵△ABC為正三角形，且邊長為9，BD=3，
∴∠B=∠C=60°，DC=9-3=6；
又∵∠ADE=60°，
∴∠BAD+∠ADB=∠CDE+∠ADB=180°-60°=120°，
∴∠BAD=∠CDE，而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴

AB

DC

=

BD

CE

，
∴CE=

3×6

9

=2；
AE=9-2=7；
∴DE²=DC²+CE²-2DC•CEcos60°
=36+4-2×6×2×

1

2

=40-12=28，
∴DE=2

7

．
∵△ABD∽△DCE，
∴

AB

DC

=

AD

DE

，
∴AD=

AB•DE

DC

=

9×2 7

6

=3

7

；
綜上所述：AE=7，AD=3

7

，
故答案為：7，3

7

．

點(diǎn)評：該題以三角形為載體，在考查等邊三角形的性質(zhì)的同時，重點(diǎn)考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．