Question

（2012•烏魯木齊）如圖是一個(gè)拋物線形拱橋的示意圖，橋的跨度AB為100米，支撐橋的是一些等距的立柱，相鄰立柱的水平距離為10米（不考慮立柱的粗細(xì)），其中距A點(diǎn)10米處的立柱FE的高度為3.6米．
（1）求正中間的立柱OC的高度；
（2）是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=ax²+c，根據(jù)題意知道其上兩點(diǎn)，求出a，c；
（2）設(shè)存在一根系桿的長(zhǎng)度恰好是OC長(zhǎng)度的一半，即為5米，解得x，然后再作討論．

解答：解：（1）根據(jù)題意可得中間立柱OC經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)O．
如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)．
|OF|=40（米），故B（50，0），E（-40，3.6）
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+c
∴

502a+c=0 402a+c=3.6

解得：

a=- 1 250 c=10

∴y=-

1

250

x²+10，當(dāng)x=0時(shí)，y=10
即正中間的立柱OC的高度是10（米）；

（2）設(shè)存在一根立柱的高度是OC的一半，即這根立術(shù)的高度是5米．
則有5=-

1

250

x²+10．解得：x=±25

2

∵相鄰立柱之間的間距為10米．最中間的立柱OC在y軸上，
根據(jù)題意每根立柱上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為10的整數(shù)倍，
∴x=±25

2

與題意不符，
∴不存在一根立柱，其高度恰好是OC高度的一半．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題建立坐標(biāo)系得出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．