Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，過B作BA₁⊥AC，過A₁作A₁B₁⊥BC，得陰影Rt△A₁B₁B；再過B₁作B₁A₂⊥AC，過A₂作A₂B₂⊥BC，得陰影Rt△A₂B₂B₁；…如此下去，請猜測這樣得到的所有陰影三角形的面積之和為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：若逐一求陰影部分的面積此題會比較復(fù)雜，可從整體的角度來求解此題；易知所有白色部分的小直角三角形都與陰影部分的三角形相似，那么它們的面積比應(yīng)該等于相似比的平方，它們的相似比為AB：A₁B，AB的長已知，根據(jù)直角三角形面積的不同表示方法可求得A1B，由此求得陰影部分占△ABC面積的比例大小，從而可求得陰影部分的面積和．
解答：解：∵A₁B₁∥AB，
∴Rt△ABA₁∽△BA₁B₁，同理可證：Rt△A₁B₁A₂∽Rt△B₁A₂B₂，…；
即白色部分的小直角三角形與陰影部分的小直角三角形逐一對應(yīng)相似，
在Rt△ABC中，BA₁⊥AC，
由S=AB•BC=AC•BA₁，故BA₁=，
∴AB：BA₁=3：=5：4，
∴白色部分小直角三角形的面積和：陰影部分小直角三角形的面積和=AB²：BA₁²=25：16，
故S_陰影=S_△ABC=．
故選D．
點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，注意整體思想在此題中的應(yīng)用．