Question

如圖，拋物線y=-x²-x+1與y軸交于A點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（-3，0）．
（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動(dòng)點(diǎn)E在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．設(shè)點(diǎn)E移動(dòng)的時(shí)間為t秒，GF的長(zhǎng)度為s個(gè)單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍；
（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點(diǎn)E與點(diǎn)O、C重合的情況），連接CF，BG，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCFG為平行四邊形？問(wèn)對(duì)于所求的t值，平行四邊形BCFG是否菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）B、C的橫坐標(biāo)相同，將該橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式中能確定B的坐標(biāo)，點(diǎn)A的坐標(biāo)易知，再利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式．
（2）首先根據(jù)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和運(yùn)動(dòng)時(shí)間，能求出OE長(zhǎng)，即可得到E點(diǎn)橫坐標(biāo)，再將其代入直線AB和拋物線的解析式中得到F、G的坐標(biāo)，由此求出線段GF的長(zhǎng)度s和t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）從圖中可以明顯看出：BC∥FG，若四邊形BCFG是平行四邊形，必須滿足的條件是：BC=FG，據(jù)此列方程求出t的值；判斷此時(shí)該平行四邊形是否為菱形時(shí)，只需取BC是否與CF相等進(jìn)行驗(yàn)證即可．
解答：解：（1）由拋物線的解析式知：A（0，1）；
∵BC⊥x軸，且點(diǎn)C（-3，0）
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-3，將其代入拋物線的解析式中，得：
-×9+×3+1=
∴點(diǎn)B（-3，）；
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+1，有：
-3k+1=，k=-
∴直線AB：y=-x+1．

（2）由題意，OE=t，則點(diǎn)E（-t，0）；（0≤t≤3）
當(dāng)x=-t時(shí)，點(diǎn)F（-t，t+1），點(diǎn)G（-t，-t²+t+1）
∴GF=|（-t²+t+1）-（t+1）|=-t²+t
即：s=-t²+t（0≤t≤3）．

（3）因?yàn)锽C⊥x軸，GE⊥x軸，所以BC∥GF；
若四邊形BCFG是平行四邊形，那么BC=FG，即：
s=-t²+t=，解得：t=1或2．
當(dāng)t=1時(shí)，點(diǎn)F（-1，），CF==，即CF=BC，該平行四邊形是菱形；
當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)F（-2，2），CF==，即CF≠BC，該平行四邊形不是菱形；
綜上，當(dāng)t=1或2時(shí)，四邊形BCFG是平行四邊形，其中t=1時(shí)，該平行四邊形是菱形．
點(diǎn)評(píng)：題目主要考查了函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的應(yīng)用以及特殊四邊形的性質(zhì)和判定，總體難度較為適中，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．