【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是以AB為直徑的⊙M的內(nèi)接四邊形,點(diǎn)A,B在x軸上,△MBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,過點(diǎn)M作直線l與x軸垂直,交⊙M于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)M,且點(diǎn)D平分

(1)求過A,B,E三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)求證:四邊形AMCD是菱形;
(3)請(qǐng)問在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得△ABP的面積等于定值5?若存在,請(qǐng)求出所有的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)

解:由題意可知,△MBC為等邊三角形,點(diǎn)A,B,C,E均在⊙M上,

則MA=MB=MC=ME=2,

又∵CO⊥MB,

∴MO=BO=1,

∴A(﹣3,0),B(1,0),E(﹣1,﹣2),

拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2),

設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x+1)2﹣2(a≠0)

把點(diǎn)B(1,0)代入y=a(x+1)2﹣2,

解得:a= ,

故二次函數(shù)解析式為:y= (x+1)2﹣2;


(2)

證明:

連接DM,

∵△MBC為等邊三角形,

∴∠CMB=60°,

∴∠AMC=120°,

∵點(diǎn)D平分弧AC,

∴∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°,

∵M(jìn)D=MC=MA,

∴△MCD,△MDA是等邊三角形,

∴DC=CM=MA=AD,

∴四邊形AMCD為菱形(四條邊都相等的四邊形是菱形);


(3)

解:存在.

理由如下:

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n)

∵SABP= AB|n|,AB=4

×4×|n|=5,

即2|n|=5,

解得:n=± ,

當(dāng) 時(shí), (m+1)2﹣2=

解此方程得:m1=2,m2=﹣4

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, ),(﹣4, ),

當(dāng)n=﹣ 時(shí), (m+1)2﹣2=﹣ ,

此方程無解,

故所求點(diǎn)P坐標(biāo)為(2, ),(﹣4, ).


【解析】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及菱形的判定方法、三角形面積求法和等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí),正確得出E點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.(1)根據(jù)題意首先求出拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo),再利用頂點(diǎn)式求出函數(shù)解析式;(2)利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)得出∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°,進(jìn)而得出DC=CM=MA=AD,即可得出答案;(3)首先表示出△ABP的面積進(jìn)而求出n的值,再代入函數(shù)關(guān)系式求出P點(diǎn)坐標(biāo).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知一張三角形紙片ABC(如圖甲),其中AB=AC.將紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊,使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處,折痕為BD(如圖乙).再將紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊,點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合,折痕為EF(如圖丙).原三角形紙片ABC中,∠ABC的大小為______°.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】中,

1)如圖①,點(diǎn)在斜邊上,以點(diǎn)為圓心,長(zhǎng)為半徑的圓交于點(diǎn),交于點(diǎn),與邊相切于點(diǎn).求證:;

2)在圖②中作,使它滿足以下條件:

①圓心在邊上;②經(jīng)過點(diǎn);③與邊相切.

(尺規(guī)作圖,只保留作圖痕跡,不要求寫出作法)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,AC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC1cm/s的速度移動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.

(1)求BC邊的長(zhǎng);

(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí),求t的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,直線y=﹣ x+2 與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,兩動(dòng)點(diǎn)D,E分別從點(diǎn)A,點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O停止),運(yùn)動(dòng)速度分別是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和 個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)E,過點(diǎn)E作x軸的平行線,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)G,與AB相交于點(diǎn)F.

(1)求點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長(zhǎng);
(3)當(dāng)四邊形ADEF為菱形時(shí),試判斷△AFG與△AGB是否相似,并說明理由.
(4)是否存在t的值,使△AGF為直角三角形?若存在,求出這時(shí)拋物線的解析式;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,已知開口向下的拋物線y1=ax2﹣2ax+1過點(diǎn)A(m,1),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為B,將拋物線y1繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線y2 , 點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D,E.

(1)直接寫出點(diǎn)A,C,D的坐標(biāo);
(2)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí),求a的值及拋物線y2的解析式;
(3)在(2)的條件下,連接DC,線段DC上的動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中,過點(diǎn)P作直線l⊥x軸,將矩形ABDE沿直線l折疊,設(shè)矩形折疊后相互重合部分面積為S平方單位,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,求S與t的函數(shù)關(guān)系.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了加強(qiáng)對(duì)校內(nèi)外安全監(jiān)控,創(chuàng)建平安校園,某學(xué)校計(jì)劃增加15臺(tái)監(jiān)控?cái)z像設(shè)備,現(xiàn)有甲、乙兩種型號(hào)的設(shè)備,其中每臺(tái)價(jià)格,有效監(jiān)控半徑如表所示,經(jīng)調(diào)查,購買1臺(tái)甲型設(shè)備比購買1臺(tái)乙型設(shè)備多150元,購買2臺(tái)甲型設(shè)備比購買3臺(tái)乙型設(shè)備少400元.

甲型

乙型

價(jià)格(元/臺(tái))

a

b

有效半徑(米/臺(tái))

150

100

1)求a、b的值;

2)若購買該批設(shè)備的資金不超過11000元,且要求監(jiān)控半徑覆蓋范圍不低于1600米,兩種型號(hào)的設(shè)備均要至少買一臺(tái),請(qǐng)你為學(xué)校設(shè)計(jì)購買方案,并計(jì)算最低購買費(fèi)用.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】計(jì)算:

(1)3()()()

(2)25.7(7.3)(13.7)7.3;

(3)(2.125)()()(3.2);

(4)(0.8)6.4(9.2)3.6(1)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為鼓勵(lì)市民節(jié)約用電,小亮家所在地區(qū)規(guī)定:每戶居民如果一個(gè)月的用電量不超過度,那么這戶居民這個(gè)月只需交元電費(fèi);如果超過度,則這個(gè)月除了仍要交元的電費(fèi)以外,超過的部分還要按每度元交電費(fèi).已知小亮家月份用電度,交電費(fèi)元;月份用電度,交電費(fèi)元.

1)請(qǐng)直接寫出小亮家月份超過度部分的用電量(用含的代數(shù)式表示);

2)求的值.

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