Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（n，0）（n＞0），拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)P．已知正方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A（2，2），B（3，2），D（2，3）．
（1）求c，b并寫(xiě)出拋物線對(duì)稱(chēng)軸及y的最大值（用含有n的代數(shù)式表示）；
（2）求證：拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)y=x²的圖象上；
（3）若拋物線與直線AD交于點(diǎn)N，求n為何值時(shí)，△NPO的面積為1；
（4）若拋物線經(jīng)過(guò)正方形區(qū)域ABCD（含邊界），請(qǐng)直接______寫(xiě)出n的取值范圍．
（參考公式：y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-，）

Answer 1

【答案】分析：（1）把拋物線經(jīng)過(guò)的兩個(gè)點(diǎn)O點(diǎn)和P點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式就可以求出c、b的值，從而也就可以求出拋物線的解析式，再化為頂點(diǎn)式就可以求出對(duì)稱(chēng)軸和最大值．
（2）通過(guò)（1）的解析式表示出拋物線的頂點(diǎn)式，再代入y=x²的解析式，就可以證明拋物線的頂點(diǎn)在y=x²上．
（3）由點(diǎn)A、點(diǎn)D的坐標(biāo)可以表示出N的坐標(biāo)，再根據(jù)n的取值范圍和三角形的面積建立等量關(guān)系求出n的值．
（4）由拋物線經(jīng)過(guò)正方形區(qū)域ABCD（含邊界），分別把A（2，2），B（3，2），C（3，3），D（2，3）中的橫、縱坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)=-x²+nx，得n=3；n=；n=4；n=．因此，n的取值范圍是3≤n≤4．
解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=-x²+bx+c，得c=0．
再把x=n，y=0代入y=-x²+bx，
得-n²+bn=0．
∵n＞0，
∴b=n．
∴y=-x²+nx=-（x-）²+，
∴y的最大值為．
，（2）∵拋物線頂點(diǎn)為（，），
把x=代入y=x²=，
∴拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)y=x²的圖象上．

（3）當(dāng)x=2時(shí)，y=2n-4，
∴點(diǎn)N為（2，2n-4）．
當(dāng)n=2時(shí)，P、N兩點(diǎn)重合，△NPO不存在．
當(dāng)n＞2時(shí)，解n（2n-4）=1，得n=1±．
∵n＞2，
∴n=1+．
當(dāng)0＜n＜2時(shí)，解n（4-2n）=1，得n₁=n₂=1．
∴n=1+或n=1時(shí)，△NPO的面積為1．

（4）3≤n≤4．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式及三角形面積公式的運(yùn)用．