已知:拋物線y=ax2-4ax+m與x軸的一個交點為A(1,0).
(1)求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標;
(2)點C是拋物線與y軸的交點,且△ABC的面積為3,求此拋物線的解析式;
(3)點D是(2)中開口向下的拋物線的頂點.拋物線上點C的對稱點為Q,把點D沿對稱軸向下平移5個單位長度,設(shè)這個點為P;點M、N分別是x軸、y軸上的兩個動點,當四邊形PQMN的周長最短時,求PN+MN+QM的長.(結(jié)果保留根號)
分析:(1)先求出拋物線的動對稱軸,根據(jù)拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱,即可求得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標;
(2)先求出點C的坐標,再結(jié)合△ABC的面積為3的條件便可求出拋物線的解析式;
(3)先根據(jù)題意求出D、Q、P三點的坐標,進一步解答便可求出當四邊形PQMN的周長最短時,PN+MN+QM的長.
解答:解:(1)依題意,拋物線的對稱軸為x=2.
∵拋物線與x軸的一個交點為A(1,0),
∴由拋物線的對稱性,可得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為(3,0);(1分)

(2)∵拋物線y=ax2-4ax+m與x軸的一個交點為A(1,0),
∴a•12-4a×1+m=0
m=3a
y=ax2-4ax+3a
精英家教網(wǎng)
∴C(0,3a).(2分)
∵△ABC的面積為3,
AB=2,OC=|3a|,
S△ABC=
1
2
AB•OC=
1
2
×2•OC=OC=3

∴|3a|=3.
∴a=±1,m=±3.
∴所求拋物線的解析式為y=x2-4x+3或y=-x2+4x-3;(4分)

(3)依題意知,拋物線的解析式為.y=-x2+4x-3,
∴點D(2,1),C(0,-3),P(2,-4).
設(shè)Q(x,y),
∵點C與點Q關(guān)于x=2對稱,
∴點Q坐標(4,-3).(6分)
分別作P、Q關(guān)于y軸、x軸的對稱點P′、Q′,
連接P′Q′,分別交x軸、y軸于點M、N.
連接PN、MQ,則此時四邊形PQMN的周長最短.(7分)
∴P′(-2,-4),Q′(4,3).
過P′作P′E垂直Q′E于E.∴E(4,-4).
∴P′E=6,Q′E=7,
由作圖可知,PN=P′N,QM=Q′M.
∴PN+MN+QM=P’N+MN+Q′M=P′Q′=
62+72
=
85

∴PN+MN+QM的長為
85
.(8分)
點評:本題是二次函數(shù)的綜合題,其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法動點問題等知識點,是各地中考的熱點和難點,解題時注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想的運用,同學們要加強訓練,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知:拋物線y=x2-(a+b)x+
c2
4
,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個不同交點;
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點,與y軸交于點M,拋物線與y軸交于點N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為
3
,拋物線與x軸交于點P、Q,問是否精英家教網(wǎng)存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標,若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

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(1)求證:拋物線與直線一定有兩個不同的交點;
(2)設(shè)拋物線與直線的兩個交點為A、B,過A、B分別作x軸的垂線,垂足分別為A1、B1.令k=
c
a
,試問:是否存在實數(shù)k,使線段A1B1的長為4
2
.如果存在,求出k的值;如果不存在,請說明理由.

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(-1,4)
(-1,4)
;
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(3)在(2)的條件下,若有一條直線y=mx+n與直線y=ax+b關(guān)于x軸成軸對稱,求直線y=mx+n與拋物線y=-x2-2x+3的交點坐標.

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(1)求證:拋物線與x軸必有兩個不同交點;
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點,與y軸交于點M,拋物線與y軸交于點N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為數(shù)學公式,拋物線與x軸交于點P、Q,問是否存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標,若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:2009年四川省綿陽市南山中學自主招生考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

已知:拋物線,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個不同交點;
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點,與y軸交于點M,拋物線與y軸交于點N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為,拋物線與x軸交于點P、Q,問是否存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標,若不存在,請說明理由.

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