Question

關于x的方程x²+mx-9=0和x²-3x+m²+6m=0有公共根，則m的值為________．

Answer 1

-3，0，-4.5
分析：設這個公共根為α，那么根據(jù)兩根之和的表達式，可知方程x²+mx-9=0的兩根為α、-m-α；方程x²-3x+m²+6m=0的兩根為α、3-α．再根據(jù)兩根之積的表達式，可知α（-m-α）=-9，α（3-α）=m²+6m，然后對兩式整理，用α表示m，再代入其中一個方程消掉α，求解即可得到m的值．
解答：設這個公共根為α．
則方程x²+mx-9=0的兩根為α、-m-α；方程x²-3x+m²+6m=0的兩根為α、3-α，
由根與系數(shù)的關系有：α（-m-α）=-9，α（3-α）=m²+6m，
整理得，α²+mα=9①，α²-3α+m²+6m=0②，
②-①得，m²+6m-3α-mα=-9，
即（m+3）²-α（m+3）=0，
（m+3）（m+3-α）=0，
所以m+3=0或m+3-α=0，
解得m=-3或α=m+3，
把α=m+3代入①得，
（m+3）²+m（m+3）=9，
m²+6m+9+m²+3m=9，
m（2m+9）=0，
所以m=0或2m+9=0，
解得m=0或m=-4.5，
綜上所述，m的值為-3，0，-4.5．
故答案為：-3，0，-4.5．
點評：本題主要考查了公共根的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關系及由兩個二元二次方程組成的方程組的解法．高次方程組的解法在初中教材中不要求掌握，屬于競賽題型，本題有一定難度．