【題目】定義:如圖1,拋物線與軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上(點(diǎn)P與A,B兩點(diǎn)不重合),如果△ABP的三邊滿足,則稱點(diǎn)P為拋物線的勾股點(diǎn)。
(1)直接寫出拋物線的勾股點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如圖2,已知拋物線C:與軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(1,)是拋物線C的勾股點(diǎn),求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)Q在拋物線C上,求滿足條件的點(diǎn)Q(異于點(diǎn)P)的坐標(biāo)
【答案】(1)(0,1);(2)y=﹣x2+x;(3)(3,)或(2+,﹣)或(2﹣,﹣).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)拋物線勾股點(diǎn)的定義即可求解;
(2)作PG⊥x軸,由P點(diǎn)坐標(biāo)求得AG=1、PG=、 PA=2,由tan∠PAB=知∠PAG=60°,從而求得AB=4,即B(4,0),運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解;
(3)由SΔABQ=SΔABP且兩三角形同底,可知點(diǎn)Q到x軸的距離為,據(jù)此可求解.
試題解析: (1)拋物線y=﹣x2+1的勾股點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1);
(2)拋物線y=ax2+bx過原點(diǎn),即點(diǎn)A(0,0),
如圖,作PG⊥x軸于點(diǎn)G,
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,),
∴AG=1、PG=,PA==2,
∵tan∠PAB=,
∴∠PAG=60°,
在Rt△PAB中,AB=,
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,0),
設(shè)y=ax(x﹣4),
將點(diǎn)P(1,)代入得:a=﹣,
∴y=﹣x(x﹣4)=﹣x2+x;
(3)①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí),由S△ABQ=S△ABP知點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為,
則有﹣x2+x =,
解得:x1=3,x2=1(不符合題意,舍去),
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,);
②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí),由S△ABQ=S△ABP知點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣
則有﹣x2+x =﹣,
解得:x1=2+,x2=2﹣,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2+,﹣)或(2﹣,﹣);
綜上,滿足條件的點(diǎn)Q有3個(gè):(3,)或(2+,﹣)或(2﹣,﹣).
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【題目】小明用30厘米的鐵絲圍成一斜邊等于13厘米的直角三角形,設(shè)該直角三角形一直角邊長x厘米,根據(jù)題意列方程為
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【題目】根據(jù)題意,解答下列問題:
(1)如圖①,已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),求線段AB的長;
(2)如圖②,類比(1)的求解過程,請(qǐng)你通過構(gòu)造直角三角形的方法,求出兩點(diǎn)M(3,4),N(﹣2,﹣1)之間的距離;
(3)如圖③,P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn),請(qǐng)你利用圖③構(gòu)造直角三角形,并直接寫出P1P2的長度(用含有x1 , x2 , y1 , y2的代數(shù)式表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下列各組線段為邊,能組成三角形的是( )
A. 2cm、2cm、4cmB. 2cm、6cm、3cm
C. 8cm、6cm、3cmD. 11cm、4cm、6cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:有一組鄰邊相等,并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形.
(1)如圖1,等腰直角四邊形ABCD,AB=BC,∠ABC=90°.
①若AB=CD=1,AB∥CD,求對(duì)角線BD的長.
②若AC⊥BD,求證:AD=CD;
(2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一點(diǎn),且BP=2PD,過點(diǎn)P作直線分別交邊AD,BC于點(diǎn)E,F(xiàn),使四邊形ABFE是等腰直角四邊形,求AE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】位于環(huán)水東灣新城區(qū)的茂名市第一中學(xué)新校區(qū)占地面積約為536.5畝.將536.5用科學(xué)記數(shù)法可表示為( )
A.0.5365×103
B.5.365×102
C.53.65×10
D.536.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于有理數(shù)a、b定義一種新運(yùn)算,規(guī)定a☆b=a2﹣ab.
(1)求2☆(﹣3)的值;
(2)若(﹣2)☆(3☆x)=4,求x的值.
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