Question

2．定義：有一個內(nèi)角為90°，且對角線相等的四邊形稱為準(zhǔn)矩形．

（1）①如圖1，準(zhǔn)矩形ABCD中，∠ABC=90°，若AB=2，BC=3，則BD=$\sqrt{13}$；
②如圖2，直角坐標(biāo)系中，A（0，3），B（5，0），若整點P使得四邊形AOBP是準(zhǔn)矩形，則點P的坐標(biāo)是（5，3），（3，5）；（整點指橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點）
（2）如圖3，正方形ABCD中，點E、F分別是邊AD、AB上的點，且CF⊥BE，求證：四邊形BCEF是準(zhǔn)矩形；
（3）已知，準(zhǔn)矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，當(dāng)△ADC為等腰三角形時，請直接寫出這個準(zhǔn)矩形的面積是$\sqrt{15}$+$\sqrt{3}$，$\sqrt{39}$+$\sqrt{3}$，2$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 （1）利用準(zhǔn)矩形的定義和勾股定理計算，再根據(jù)準(zhǔn)矩形的特點和整點的特點求出即可；
（2）先利用正方形的性質(zhì)判斷出△ABE≌△BCF，即可；
（2）分三種情況分別計算，用到梯形面積公式，對角線面積公式，對角線互相垂直的四邊形的面積計算方法．

解答 解：（1）①∵∠ABC=90，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{4+9}$=$\sqrt{13}$，
故答案為$\sqrt{13}$，
②∵A（0，3），B（5，0），
∴AB=$\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}$=6，
設(shè)點P（m，n），A（0，0），
∴OP=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=6，
∵m，n都為整數(shù)，
∴點P（3，5）或（5，3）；
故答案為P（3，5）或（5，3）；
（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC∠A=∠ABC=90°，
∴∠EAF+∠EBC=90°，
∵BE⊥CF，
∴∠EBC+∠BCF=90°，
∴∠EBF=∠BCF，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，
∴四邊形BCEF是準(zhǔn)矩形；
（3）$\sqrt{15}+\sqrt{3}$，$\sqrt{39}+\sqrt{3}$，$2\sqrt{15}$
∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，
∴BC=2$\sqrt{3}$，AC=4，
準(zhǔn)矩形ABCD中，BD=AC=4，
①當(dāng)AC=AD時，如圖1，作DE⊥AB，

∴AE=BE$\frac{1}{2}$AB=1，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{16-1}$=$\sqrt{15}$，
∴S_{準(zhǔn)矩形ABCD}=S_△ADE+S_梯形BCDE
=$\frac{1}{2}$DE×AE+$\frac{1}{2}$（BC+DE）×BE
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{15}$+$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{15}$）×1
=$\sqrt{15}$+$\sqrt{3}$；
②當(dāng)AC=CD時，如圖2，

作DF⊥BC，
∴BD=CD，
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴DF=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{16-3}$=$\sqrt{13}$，
∴S_{準(zhǔn)矩形ABCD}=S_△DCF+S_梯形ABFD
=$\frac{1}{2}$FC×DF+$\frac{1}{2}$（AB+DF）×BF
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{13}$+$\frac{1}{2}$（2+$\sqrt{13}$）×$\sqrt{3}$
=$\sqrt{39}$+$\sqrt{3}$；
③當(dāng)AD=CD，如圖3，

連接AC中點和D并延長交BC于M，連接AM，連接BG，過B作BH⊥DG，
在Rt△ABC中，AC=2AB=4，
∴BD=AC=4，
∴AG=$\frac{1}{2}$AC=2，
∵AB=2，
∴AB=AG，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABG=60°，
∴∠CBG=30°
在Rt△BHG中，BG=2，∠BGH=30°，
∴BH=1，
在Rt△BHM中，BH=1，∠CBH=30°，
∴BM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，HM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△DHB中，BH=1，BD=4，
∴DH=$\sqrt{15}$，∴DM=DH-MH=$\sqrt{15}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴S_{準(zhǔn)矩形ABCD}=S_△ABM+S_{四邊形AMCD}，
=$\frac{1}{2}$BM×AB+$\frac{1}{2}$AC×DM
=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×2+$\frac{1}{2}$×4×（$\sqrt{15}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
=2$\sqrt{15}$；
故答案為$\sqrt{15}$+$\sqrt{3}$，$\sqrt{39}$+$\sqrt{3}$，2$\sqrt{15}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了新定義，勾股定理，梯形面積公式，對角線面積公式，三角形面積公式，分情況計算是解本題的難點．