Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax²+bx-2（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，-1），該拋物線與BE交于另一點(diǎn)F，連接BC．
（1）求該拋物線的解析式，并用配方法把解析式化為y=a（x-h）²+k的形式；
（2）若點(diǎn)H（1，y）在BC上，連接FH，求△FHB的面積；
（3）一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度平行于y軸方向向上運(yùn)動(dòng)，連接OM，BM，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，∠OMB=90°？
（4）在x軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得∠PBF被BA平分？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先求出GH，點(diǎn)F的坐標(biāo)，用三角形的面積公式計(jì)算即可；
（3）設(shè)出點(diǎn)M，用勾股定理求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而求出MD，最后求出時(shí)間t；
（4）由∠PBF被BA平分，確定出過點(diǎn)B的直線BN的解析式，求出此直線和拋物線的交點(diǎn)即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-2（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2=0}\\{9a+3b-2=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2=-$\frac{2}{3}$（x-2）²+$\frac{2}{3}$；
（2）如圖1，

過點(diǎn)A作AH∥y軸交BC于H，BE于G，
由（1）有，C（0，-2），
∵B（0，3），
∴直線BC解析式為y=$\frac{2}{3}$x-2，
∵H（1，y）在直線BC上，
∴y=-$\frac{4}{3}$，
∴H（1，-$\frac{4}{3}$），
∵B（3，0），E（0，-1），
∴直線BE解析式為y=$\frac{1}{3}$x-1，
∴G（1，-$\frac{2}{3}$），
∴GH=$\frac{2}{3}$，
∵直線BE：y=$\frac{1}{3}$x-1與拋物線y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2相交于F，B，
∴F（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{6}$），
∴S_△FHB=$\frac{1}{2}$GH×|x_G-x_F|+$\frac{1}{2}$GH×|x_B-x_G|
=$\frac{1}{2}$GH×|x_B-x_F|
=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×（3-$\frac{1}{2}$）
=$\frac{5}{6}$．
（3）如圖2，

由（1）有y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2，
∵D為拋物線的頂點(diǎn)，
∴D（2，$\frac{2}{3}$），
∵一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度平行于y軸方向向上運(yùn)動(dòng)，
∴設(shè)M（2，m），（m＞$\frac{2}{3}$），
∴OM²=m²+4，BM²=m²+1，OB²=9，
∵∠OMB=90°，
∴OM²+BM²=OB²，
∴m²+4+m²+1=9，
∴m=$\sqrt{2}$或m=-$\sqrt{2}$（舍），
∴M（2，$\sqrt{2}$），
∴MD=$\sqrt{2}$-$\frac{2}{3}$，
∵一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度平行于y軸方向向上運(yùn)動(dòng)，
∴t=$\sqrt{2}$-$\frac{2}{3}$；
（4）存在點(diǎn)P，使∠PBF被BA平分，
如圖3，
∴∠PBO=∠EBO，
∵E（0，-1），
∴在y軸上取一點(diǎn)N（0，1），
∵B（3，0），
∴直線BN的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1①，
∵點(diǎn)P在拋物線y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2②上，
聯(lián)立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍），
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
即：在x軸上方的拋物線上，存在點(diǎn)P，使得∠PBF被BA平分，P（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，兩點(diǎn)間的距離公式，角平分線的意義，解本題的關(guān)鍵是確定函數(shù)解析式．