Question

在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，過(guò)動(dòng)點(diǎn)H（0, ）作平行于軸的直線(xiàn)，直線(xiàn)與二次函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)D，E.

（1）寫(xiě)出點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）若，以DE為直徑作⊙Q，當(dāng)⊙Q與軸相切時(shí)，求的值；

（3）直線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

Answer 1

（1）（4，0）和（－1，0）；（2）；（3）存在，m=或或3或.

【解析】

試題分析：（1）A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為0，所以代入y=0，求解即可．

（2）由圓和拋物線(xiàn)性質(zhì)易得圓心Q位于直線(xiàn)與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)處，則Q的橫坐標(biāo)為，可推出D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，因?yàn)镈、E都在拋物線(xiàn)上，代入一點(diǎn)即可得m．

（3）使得△ACF是等腰直角三角形，重點(diǎn)的需要明白有幾種情形，分別以三邊為等腰三角形的兩腰或者底，則共有3種情形；而三種情形中F點(diǎn)在A(yíng)C的左下或右上方又各存在2種情形，故共有6種情形．求解時(shí)．利用全等三角形知識(shí)易得m的值．

試題解析：【解析】
（1）當(dāng)y=0時(shí)，有，解之得：，

∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0）和（－1，0）.

（2）∵⊙Q與軸相切，且與交于D、E兩點(diǎn)，

∴圓心O位于直線(xiàn)與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)處，且⊙Q的半徑為H點(diǎn)的縱坐標(biāo)（）.

∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，

∴D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：且均在二次函數(shù)的圖像上.

∵，解得或（不合題意，舍去）.

（3）存在.

①當(dāng)∠ACF=90°，AC=FC時(shí)，如答圖1，

過(guò)點(diǎn)F作FG⊥y軸于G，∴∠AOC=∠CGF=90°.

∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，∴∠ACO=∠CFG.

∴△ACO≌△∠CFG，∴CG=AO=4.

∵CO=2，

∴或=OG=2+4=6.

②當(dāng)∠CAF=90°，AC=AF時(shí)，如答圖2，

過(guò)點(diǎn)F作FP⊥x軸于P，∴∠AOC=∠APF=90°.

∵∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，∴∠ACO=∠FAP.

∴△ACO≌△∠FAP，∴FP =AO=4.

∴或=FP =4.

③當(dāng)∠AFC=90°，F(xiàn)A=FC時(shí)，如答圖3，

則F點(diǎn)一定在A(yíng)C的中垂線(xiàn)上，此時(shí)存在兩個(gè)點(diǎn)分別記為F，F(xiàn)′，

分別過(guò)F，F(xiàn)′兩點(diǎn)作x軸、y軸的垂線(xiàn)，分別交于E，G，D，H．

∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，∴∠DFC=∠EFA.

∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，∴△CDF≌△AEF.

∴CD=AE，DF=EF.∴四邊形OEFD為正方形.

∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD.

∴4=2+2•CD.∴CD=1，∴m=OC+CD=2+1=3．

∵∠HF′C+∠CGF′=∠CGF′+∠GF′A，∴∠HF′C=∠GF′A.

∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′.∴△HF′C≌△GF′A.∴HF′=GF′，CH=AG.

∴四邊形OHF′G為正方形.

∴.∴OH=1.

∴m=．

∵，∴y的最大值為.

∵直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，∴m＜∴m可取值為m=或或3或.

綜上所述，m的值為m=或或3或.

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題； 2.單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；3.等腰直角三角形存在性問(wèn)題；4.二次函數(shù)的性質(zhì)；5.曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；6.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；7.全等三角形的判定和性質(zhì)；8.正方形的判定和性質(zhì)；9.分類(lèi)思想的應(yīng)用．