Question

如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm，AD=4cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AD移動(dòng)，以CE為直徑作圓O，點(diǎn)F為圓O與射線BD的公共點(diǎn)，連接EF、CF，過點(diǎn)E作EG⊥EF，EG與圓O相交于點(diǎn)G，連接CG．

（1）試說明四邊形EFCG是矩形；

（2）當(dāng)圓O與射線BD相切時(shí)，點(diǎn)E停止移動(dòng)，在點(diǎn)E移動(dòng)的過程中，

①矩形EFCG的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個(gè)最大值或最小值；若不存在，說明理由；

②求點(diǎn)G移動(dòng)路線的長．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）①存在，矩形EFCG的面積最大值為12，最小值為；②．

【解析】

試題分析：（1）只要證到三個(gè)內(nèi)角等于90°即可．

（2）①易證點(diǎn)D在⊙O上，根據(jù)圓周角定理可得∠FCE=∠FDE，從而證到△CFE∽△DAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到S矩形ABCD=2S△CFE=．然后只需求出CF的范圍就可求出S矩形ABCD的范圍．

②根據(jù)圓周角定理和矩形的性質(zhì)可證到∠GDC=∠FDE=定值，從而得到點(diǎn)G的移動(dòng)的路線是線段，只需找到點(diǎn)G的起點(diǎn)與終點(diǎn)，求出該線段的長度即可．

試題解析：【解析】
（1）證明：如圖，

∵CE為⊙O的直徑，∴∠CFE=∠CGE=90°．

∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．

∴四邊形EFCG是矩形．

（2）①存在．

如答圖1，連接OD，

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．

∵點(diǎn)O是CE的中點(diǎn)，∴OD=OC．∴點(diǎn)D在⊙O上．

∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB．∴．

∵AD=4，AB=3，∴BD=5.

∴. ∴S矩形ABCD=2S△CFE=．

∵四邊形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．

∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．

∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°

Ⅰ．當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A（E′）處時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)B（F′）處，點(diǎn)G在點(diǎn)D（G′處，如答圖1所示．

此時(shí)，CF=CB=4．

Ⅱ．當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D（F″）處時(shí)，直徑F″G″⊥BD，如答圖2所示，此時(shí)⊙O與射線BD相切，CF=CD=3．

Ⅲ．當(dāng)CF⊥BD時(shí)，CF最小，此時(shí)點(diǎn)F到達(dá)F″′，如答圖3所示．S△BCD=BC•CD=BD•CF″′．

∴4×3=5×CF″′．∴CF″′=．

∴≤CF≤4．

∵S矩形ABCD=，∴，即．

∴矩形EFCG的面積最大值為12，最小值為．

②∵∠GDC=∠FDE=定值，點(diǎn)G的起點(diǎn)為D，終點(diǎn)為G″，

∴點(diǎn)G的移動(dòng)路線是線段DG″．

∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°，∴△DCG″∽△DAB．

∴，即，解得．

∴點(diǎn)G移動(dòng)路線的長為．

考點(diǎn)：1.圓的綜合題；2.單動(dòng)點(diǎn)問題；3.垂線段最短的性質(zhì)；4.直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)；5.矩形的判定和性質(zhì)；6.圓周角定理；7.切線的性質(zhì)；8.相似三角形的判定和性質(zhì)；9.分類思想的應(yīng)用．