Question

如圖，點D在△ABC的邊上且與點B、C不重合，過點D作DE∥AC交AB于E，作DF∥AB交AC于F，已知BC=5，S_△ABC=S．
（1）求證：四邊形AEDF是平行四邊形；
（2）設BD=x，寫出y=S_?AEDF關于x的函數(shù)解析式，并求出?AEDF的最大面積；
（3）若S_?AEDF=S，求出BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形即可證明；
（2）根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方，分別表示出△BDE的面積和△CDF的面積，再進一步表示y關于x的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)求得其最大值；
（3）在（2）的基礎上，把S_?AEDF=S代入求解．
解答：證明：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形；

（2）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴△BDE∽△BCA，△CDF∽△ABC．
∴=，=．
則三角形BDE的面積=S，三角形CDF的面積=S．
則y=S-S-S=（-+x）S，且y的最大值是S；

（3）若S_?AEDF=S，則（-+x）S=S，
解得x=．
又x＜5，
則x=．
點評：此題考查了平行四邊形的判定方法、相似三角形的判定和性質(zhì)，能夠根據(jù)二次函數(shù)探求函數(shù)的最值．