Question

【題目】如圖，是☉的直徑，為☉上一點，是半徑上一動點（不與重合），過點作射線，分別交弦，于兩點，過點的切線交射線于點．

（1）求證：．

（2）當是的中點時，

①若，判斷以為頂點的四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由；

②若，且，則_________．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①以為頂點的四邊形是菱形；②9

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)切線的性質得出OC⊥CF以及∠OBC=∠OCB得∠FCD=∠FDC，可證得結論；
（2）①如圖2，連接OC，OE，BE，CE，可證△BOE，△OCE均為等邊三角形，可得OB=BE=CE=OC，可得結論；
②設AC=3k，BC=4k（k＞0），由勾股定理可求k=6，可得AC=18，BC=24，由面積法可求PE，由勾股定理可求OP的長．

（1）證明：如圖1，連接，則．

，

．

，

，

．

，

，

．

又，

，

．

（2）解：如圖2，連接與交于點．

①以為頂點的四邊形是菱形．理由如下：

是直徑，

．

，

．

是的中點，

．

又，

均為等邊三角形，

，

四邊形是菱形．

②

設，則．

在中，由勾股定理，得，即，

解得，

．

是的中點，

，

，即，解得．

在中，由勾股定理，得.

故答案為：9.