Question

【題目】（本小題滿分8分）如圖，點E、F為線段BD的兩個三等分點，四邊形AECF是菱形．

（1）試判斷四邊形ABCD的形狀，并加以證明；

（2）若菱形AECF的周長為20，BD為24，試求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）四邊形ABCD為菱形，證明過程見解析；（2）S四邊形ABCD=72．

【解析】

試題分析：（1）連接AC，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可得AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，再求出BO=OD，然后根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形證明；

（2）根據(jù)菱形的四條邊都相等求出邊長AE，根據(jù)菱形的對角線互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解．

試題解析：

解：（1）四邊形ABCD為菱形．

理由如下：如圖，連接AC交BD于點O，

∵四邊形AECF是菱形，

∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF ．

又∵點E、F為線段BD的兩個三等分點，

∴BE=FD，

∴BO=OD ．

∵AO=OC，

∴四邊形ABCD為平行四邊形 ．

∵AC⊥BD，

∴四邊形ABCD為菱形；

（2）∵四邊形AECF為菱形，且周長為20，∴AE=5 ．

∵BD=24，∴EF=8，OE=EF=×8=4．

由勾股定理得，AO===3，

∴AC=2AO=2×3=6 ．

∴S四邊形ABCD=BDAC=×24×6=72．