【題目】已知拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過A(﹣1,0),B(2,0),C三點.直線y=mx+ 交拋物線于A,Q兩點,點P是拋物線上直線AQ上方的一個動點,作PF⊥x軸,垂足為F,交AQ于點N.

(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖①,當點P運動到什么位置時,線段PN=2NF,求出此時點P的坐標;
(3)如圖②,線段AC的垂直平分線交x軸于點E,垂足為D,點M為拋物線的頂點,在直線DE上是否存在一點G,使△CMG的周長最?若存在,請求出點G的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過A(﹣1,0),B(2,0),

∴將點A和點B的坐標代入得: ,解得a=﹣1,b=1,

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2


(2)

解:直線y=mx+ 交拋物線與A、Q兩點,把A(﹣1,0)代入解析式得:m= ,

∴直線AQ的解析式為y= x+

設點P的橫坐標為n,則P(n,﹣n2+n+2),N(n, n+ ),F(xiàn)(n,0),

∴PN=﹣n2+n+2﹣( n+ )=﹣n2+ n+ ,NF= n+

∵PN=2NF,即﹣n2+ n+ =2×( n+ ),解得:n=﹣1或

當n=﹣1時,點P與點A重合,不符合題意舍去.

∴點P的坐標為( ,


(3)

解:∵y=﹣x2+x+2,=﹣(x﹣ 2+ ,

∴M( , ).

如圖所示,連結AM交直線DE與點G,連結CG、CM此時,△CMG的周長最。

設直線AM的函數(shù)解析式為y=kx+b,且過A(﹣1,0),M( , ).

根據(jù)題意得: ,解得

∴直線AM的函數(shù)解析式為y= +

∵D為AC的中點,

∴D(﹣ ,1).

設直線AC的解析式為y=kx+2,將點A的坐標代入得:﹣k+2=0,解得k=2,

∴AC的解析式為y=2x+2.

設直線DE的解析式為y=﹣ x+c,將點D的坐標代入得: +c=1,解得c= ,

∴直線DE的解析式為y=﹣ x+

將y=﹣ x+ 與y= + 聯(lián)立,解得:x=﹣ ,y=

∴在直線DE上存在一點G,使△CMG的周長最小,此時G(﹣ ,


【解析】(1)將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式得到關于b、c的方程組,然后求得a,b的值,從而得到問題的答案;(2)把A(﹣1,0)代入y=mx+ 求得m的值,可得到直線AQ的解析式,設點P的橫坐標為n,則P(n,﹣n2+n+2),N(n, n+ ),F(xiàn)(n,0),
然后用含n的式子表示出PN、NF的長,然后依據(jù)PN=2NF列方程求解即可;(3)連結AM交直線DE與點G,連結CG、CM此時,△CMG的周長最小,先求得點M的坐標,然后求得AM和DE的解析式,最后在求得兩直線的交點坐標即可.
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質的相關知識點,需要掌握增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.

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