Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（2，0），C三點(diǎn)．直線y=mx+ 交拋物線于A，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上直線AQ上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PF⊥x軸，垂足為F，交AQ于點(diǎn)N．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PN=2NF，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖②，線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E，垂足為D，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在直線DE上是否存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長(zhǎng)最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（2，0），

∴將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得： ，解得a=﹣1，b=1，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2

（2）

解：直線y=mx+ 交拋物線與A、Q兩點(diǎn)，把A（﹣1，0）代入解析式得：m= ，

∴直線AQ的解析式為y= x+ ．

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，則P（n，﹣n2+n+2），N（n， n+ ），F(xiàn)（n，0），

∴PN=﹣n2+n+2﹣（ n+ ）=﹣n2+ n+ ，NF= n+ ．

∵PN=2NF，即﹣n2+ n+ =2×（ n+ ），解得：n=﹣1或 ．

當(dāng)n=﹣1時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，不符合題意舍去．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ， ）

（3）

解：∵y=﹣x2+x+2，=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴M（ ， ）．

如圖所示，連結(jié)AM交直線DE與點(diǎn)G，連結(jié)CG、CM此時(shí)，△CMG的周長(zhǎng)最�。�

設(shè)直線AM的函數(shù)解析式為y=kx+b，且過(guò)A（﹣1，0），M（ ， ）．

根據(jù)題意得： ，解得 ．

∴直線AM的函數(shù)解析式為y= + ．

∵D為AC的中點(diǎn)，

∴D（﹣ ，1）．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+2，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：﹣k+2=0，解得k=2，

∴AC的解析式為y=2x+2．

設(shè)直線DE的解析式為y=﹣ x+c，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得： +c=1，解得c= ，

∴直線DE的解析式為y=﹣ x+ ．

將y=﹣ x+ 與y= + 聯(lián)立，解得：x=﹣ ，y= ．

∴在直線DE上存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長(zhǎng)最小，此時(shí)G（﹣ ， ）

【解析】（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程組，然后求得a，b的值，從而得到問(wèn)題的答案；（2）把A（﹣1，0）代入y=mx+ 求得m的值，可得到直線AQ的解析式，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，則P（n，﹣n2+n+2），N（n， n+ ），F(xiàn)（n，0），
然后用含n的式子表示出PN、NF的長(zhǎng)，然后依據(jù)PN=2NF列方程求解即可；（3）連結(jié)AM交直線DE與點(diǎn)G，連結(jié)CG、CM此時(shí)，△CMG的周長(zhǎng)最小，先求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后求得AM和DE的解析式，最后在求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．