Question

18．如圖，某校園內(nèi)有一塊菱形的空地ABCD，為了美化環(huán)境，現(xiàn)要進(jìn)行綠化，計(jì)劃在中間建設(shè)一個(gè)面積為S的矩形綠地EFGH．其中，點(diǎn)E、F、G、H分別在菱形的四條邊上，AB=a米，BE=BF=DG=DH=x米，∠A=60°
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（2）若a=100，求S的最大值，并求出此時(shí)的值；
（3）若S的最大值是10000$\sqrt{3}$，則a至少要多長(zhǎng)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得△AHE是等邊三角形，即HE=（a-x）米，過(guò)點(diǎn)P作DP⊥HG于點(diǎn)P，則HG=2HP=2DHsin∠HDP=$\sqrt{3}$x米，由矩形面積公式可得；
（2）將a=100代入上式，配方成頂點(diǎn)式可得其最值情況；
（3）將（1）中函數(shù)解析式配方后，根據(jù)其最值可得關(guān)于a的方程，解方程即可得．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=a米，
∵BE=BF=DH=DG=x米，∠A=60°
∴AE=AH=（a-x）米，∠ADC=120°，
∴△AHE是等邊三角形，即HE=（a-x）米，
如圖，過(guò)點(diǎn)P作DP⊥HG于點(diǎn)P，

∴HG=2HP，∠HDP=$\frac{1}{2}$∠ADC=60°，
則HG=2HP=2DHsin∠HDP=2x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$x米，
∴S=$\sqrt{3}$x（a-x）=-$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$ax （0＜x＜a）；

（2）當(dāng)a=100時(shí)，S=-$\sqrt{3}$x²+100$\sqrt{3}$x=-$\sqrt{3}$（x-50）²+2500$\sqrt{3}$，
∴當(dāng)x=50時(shí)，S取得最大值，最大值為2500$\sqrt{3}$．

（3）S=-$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$ax=-$\sqrt{3}$（x-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
根據(jù)題意，得：$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²=10000$\sqrt{3}$，
解得：a=200或a=-200（舍），
故a至少需要200米．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)菱形的性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)、三角函數(shù)表示出矩形的長(zhǎng)寬是求得函數(shù)解析式的前提，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是求函數(shù)最值的關(guān)鍵．