Question

8．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△OA₁B₁是邊長為2的等邊三角形，作△B₂A₂B₁與△OA₁B₁關(guān)于點B₁成中心對稱，再作△B₂A₃B₃與△B₂A₂B₁關(guān)于點B₂成中心對稱，如此作下去，則△OA₁B₁的頂點A₁的坐標(biāo)是（1，$\sqrt{3}$）；△B₆A₇B₇的頂點A₇的坐標(biāo)是（13，$\sqrt{3}$）；△B_2nA_2n+1B_2n+1（n是正整數(shù)）的頂點A_2n+1的坐標(biāo)是（4n+1，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 首先根據(jù)△OA₁B₁是邊長為2的等邊三角形，可得A₁的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$），B₁的坐標(biāo)為（2，0）；然后根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，分別求出點A₂、A₃、A₄的坐標(biāo)各是多少；最后總結(jié)出A_n的坐標(biāo)的規(guī)律，求出A_2n+1的坐標(biāo)是多少即可．

解答 解：∵△OA₁B₁是邊長為2的等邊三角形，
∴A₁的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$），B₁的坐標(biāo)為（2，0），
∵△B₂A₂B₁與△OA₁B₁關(guān)于點B₁成中心對稱，
∴點A₂與點A₁關(guān)于點B₁成中心對稱，
∵2×2-1=3，2×0-$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，
∴點A₂的坐標(biāo)是（3，-$\sqrt{3}$），
∵△B₂A₃B₃與△B₂A₂B₁關(guān)于點B₂成中心對稱，
∴點A₃與點A₂關(guān)于點B₂成中心對稱，
∵2×4-3=5，2×0-（-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴點A₃的坐標(biāo)是（5，$\sqrt{3}$），
∵△B₃A₄B₄與△B₃A₃B₂關(guān)于點B₃成中心對稱，
∴點A₄與點A₃關(guān)于點B₃成中心對稱，
∵2×6-5=7，2×0-$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，
∴點A₄的坐標(biāo)是（7，-$\sqrt{3}$），
…，
∵1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×3-1，…，
∴A_n的橫坐標(biāo)是2n-1，A_2n+1的橫坐標(biāo)是2（2n+1）-1=4n+1，
∵當(dāng)n為奇數(shù)時，A_n的縱坐標(biāo)是$\sqrt{3}$，當(dāng)n為偶數(shù)時，A_n的縱坐標(biāo)是-$\sqrt{3}$，
∴頂點A_2n+1的縱坐標(biāo)是$\sqrt{3}$，
∴△B_2nA_2n+1B_2n+1（n是正整數(shù)）的頂點A_2n+1的坐標(biāo)是（4n+1，$\sqrt{3}$），
∴△B₆A₇B₇的頂點A₇的坐標(biāo)是（13，$\sqrt{3}$），
故答案為：（1，$\sqrt{3}$）、（13，$\sqrt{3}$）、（4n+1，$\sqrt{3}$）．

點評 此題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是分別判斷出A_n的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)各是多少．