Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+b（k≠0）分別交雙曲線y=

m

x

(m≠0)于A、B兩點，交x軸于點D，在x軸上有一點C（3，0），且AD=5，CD=4，sin∠ADC=

4

5

，B（-3，n）．
（1）求該雙曲線y=

m

x

與直線AB的解析式；
（2）連接BC，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過A作AE⊥CD于E，設(shè)AE=a，則AD=5a=5，根據(jù)題意求出a的值，在Rt△ADE中，DE的長度，進(jìn)而求出A點的坐標(biāo)，m的值即可求出，由A點和D點坐標(biāo)求出直線AB的解析式；
（2）首先求出B點坐標(biāo)，根據(jù)S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=

1

2

CD•AE+

1

2

CD•|y_B|求出面積的值．

解答：解：（1）過A作AE⊥CD于E，
∵在Rt△ADE中，sin∠ADC=

AE

AD

=

4

5

，
∴設(shè)AE=a，則AD=5a=5，
∴a=1，
∴AE=4a=4，
∴在Rt△ADE中，DE=

AD2-AE2

=3，
∵C（3，0），CD=4，
∴D（-1，0），
∴E（2，0），
∴A（2，4），
∵雙曲線y=

m

x

過A（2，4），
∴

m

2

=4，
∴m=8，
∴y=

8

x

，
∵直線y=kx+b過A（2，4）、D（-1，0），
∴

2k+b=4 -k+b=0

，
解得

k= 4 3 b= 4 3

，
∴y=

4

3

x+

4

3

；

（2）∵雙曲線y=

8

x

過B（-3，n），
∴n=-

8

3

，
∴B（-3，-

8

3

），
∴S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=

1

2

CD•AE+

1

2

CD•|y_B|=

1

2

×4×4+

1

2

×4×

8

3

=

40

3

．

點評：本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)解析式的求法，此題難度一般，是中考�？键c．