Question

如圖，正方形ABCD中，AC=AF，AF交CD于E，DF∥AC．求證：CF=CE．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：證明題

分析：把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，從而可得B、G、D三點在同一條直線上，然后可以證明△AGB與△CGB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=CG，所以△AGC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以推出∠CEF=∠CFE=75°，從而得解．

解答：證明：如圖所示，順時針旋轉(zhuǎn)△ADE90°得到△ABG，連接CG．
∵∠ABG=∠ADE=90°+45°=135°，
∴B，G，D在一條直線上，
∴∠ABG=∠CBG=180°-45°=135°，
在△AGB與△CGB中，

AB=BC ∠ABG=∠CBG BG=BG

，
∴△AGB≌△CGB（SAS），
∴AG=AC=GC=AE，
∴△AGC為等邊三角形，
∵AC⊥BD（正方形的對角線互相垂直），
∴∠AGB=30°，
∴∠EAC=30°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE=（180°-30°）÷2=75°，
又∵∠EFC=∠DFA=45°+30°=75°，
∴CE=CF．

點評：本題綜合考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造出圖形是解題的關(guān)鍵．