Question

【題目】四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．

（1）如圖1，求證：矩形DEFG是正方形；

（2）若AB=2，CE=，求CG的長(zhǎng)度；

（3）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是30°時(shí)，直接寫(xiě)出∠EFC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析;（2）CG= ;(3)∠EFC=120°或30°.

【解析】分析: （1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，根據(jù)正方形的判定定理證明即可；

（2）通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)E是AC中點(diǎn)，點(diǎn)F與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解決問(wèn)題.

（3）分兩種情形考慮問(wèn)題即可

詳解:

（1）證明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，

∵∠DCA=∠BCA，

∴EQ=EP，

∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，

∴∠QEF=∠PED，

在Rt△EQF和Rt△EPD中，

，

∴Rt△EQF≌Rt△EPD，

∴EF=ED，

∴矩形DEFG是正方形；

（2）如圖2中，在Rt△ABC中．AC=AB=2，

∵EC=，

∴AE=CE，

∴點(diǎn)F與C重合，此時(shí)△DCG是等腰直角三角形，易知CG=．

（3）①當(dāng)DE與AD的夾角為30°時(shí)，∠EFC=120°，

②當(dāng)DE與DC的夾角為30°時(shí)，∠EFC=30°

綜上所述，∠EFC=120°或30°．

點(diǎn)睛: 本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題.