Question

19．某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次活動(dòng)，過(guò)程如下：
如圖1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小勇將一塊三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在A上，從AB邊開(kāi)始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D，直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E．
（1）如圖1，小勇在線段BC上取一點(diǎn)M，連接AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分∠MAB，則AE也平分∠MAC．請(qǐng)你證明小勇發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；
（2）小勇在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中得到圖2所示的圖形時(shí)，發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE這三條線段可以圍成以DE為斜邊的直角三角形，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論；
（3）小亮重新從AB邊開(kāi)始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)三角板，并探究：當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)（如圖3），形成的線段BD、CE、DE是否仍能圍成以DE為斜邊的直角三角形？若能，給出證明；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖形、已知條件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；
（2）成立．將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF，連接EF，應(yīng)用折疊對(duì)稱的性質(zhì)和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DFE中應(yīng)用勾股定理而證明；
（3）當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)，等量關(guān)系BD²+CE2=DE²仍然成立，結(jié)論仍然成立，根據(jù)（2）的方法進(jìn)行證明即可．

解答 （1）證明：
如圖1，∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠DAM，
∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，
∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，
∴∠MAE=∠EAC，
即AE平分∠MAC；
（2）證明：
如圖2，將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF，連接EF．

由折疊可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，
∴AF=AC，
又由（1）可知，∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°，
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°，
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²，
即線段BD、CE、DE這三條線段可以圍成以DE為斜邊的直角三角形；
（3）當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)，線段BD、CE、DE是否仍能圍成以DE為斜邊的直角三角形．
證明如下：
 如圖3，將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF，連接EF，設(shè)AB與EF相交于點(diǎn)G，

∵將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF，
∴AF=AB，∠AFD=∠ABD=135°，∠BAD=∠FAD，
又∵AC=AB，
∴AF=AC，
又∵∠CAE=90°-∠BAE=90°-（45°-∠BAD）=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE，
∴∠CAE=∠FAE，
在△AEF和△AEC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°，
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=∠135°-∠C=135°-45°=90°，
∴∠DFE=90°，
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²，
即線段BD、CE、DE是否仍能圍成以DE為斜邊的直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何變換綜合性題目，用到的知識(shí)點(diǎn)有角平分線的定義，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，折疊對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等，題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大，正確做出圖形的輔助線是解題的關(guān)鍵．