Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，將△ADC繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連結(jié)EF，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有
①∠EAF=45°；②△EBF為等腰直角三角形；③EA平分∠CEF；④BE²+CD²=ED²．

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

C
分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得△ABF和△ACD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAF=∠CAD，然后求出∠EAF=45°，判斷出①正確；
根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF=CD，BE與CD不一定相等，判斷出②錯(cuò)誤；
根據(jù)角的度數(shù)得到∠EAF=∠EAD，然后利用“邊角邊”證明△AED和△AEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AEF=∠AED，判斷出③正確；
根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=ED，然后利用勾股定理得到④正確．
解答：∵△ADC繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，
∴△ABF≌△ACD，
∴∠BAF=∠CAD，AF=AD，BF=CD，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠CAD+∠BAE=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°，故①正確；
∵BE與CD不一定相等，
∴BE、BF不一定相等，
∴△EBF不一定是等腰直角三角形，故②錯(cuò)誤；
在△AED和△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），
∴∠AEF=∠AED，EF=ED，
即EA平分∠CEF，故③正確；
∵Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠ABE=∠C=45°，
∴在△BEF中，∠EBF=∠ABE+∠ABF=45°+45°=90°，
根據(jù)勾股定理，BE²+BF²=EF²，
∵BF=CD，EF=ED，
∴BE²+CD²=ED²，故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①③④共3個(gè)．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．