已知拋物線y=-x2+(m-2)x+3(m+1)交x軸于A(x1,0),B(x2,0),交y軸的正半軸于C點,且x1<x2,|x1|>|x2|,OA2+OB2=2OC+1.
(1)求拋物線的解析式;
(2)是否存在與拋物線只有一個公共點C的直線.如果存在,求符合條件的直線的表達式;如果不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)已知x1<x2,|x1|>|x2|,很顯然,x1<0,x2>0,因此OA=-x1,OB=x2,然后根據(jù)OA2+OB2=2OC+1,以及一元二次方程根與系數(shù)的關系即可求出m的值.也就可得出函數(shù)的解析式.
(2)可根據(jù)拋物線的解析式求出C點的坐標,然后分兩種情況進行討論:
①過C的直線與y軸平行(或與x軸垂直),那么此時直線與拋物線只有一個交點.
②如果直線不與y軸平行,可根據(jù)C點坐標,設出直線的解析式,然后聯(lián)立拋物線的解析式可得出一個關于x的一元二次方程,因為兩函數(shù)只有一個交點,因此方程的△=0,由此可求出直線的解析式.
解答:解:(1)由條件知AO=|x1|=-x1,OB=|x2|=x2,OC=3(m+1),
∵OA2+OB2=2OC+1,x12+x22=6(m+1)+1,
∴(x1+x22-2x1x2=6(m+1)+1,
即(m-2)2+6(m+1)=6(m+1)+1,
得:m1=3,m2=1,
∵x1<x2,|x1|>|x2|,
∴x1<x2=m-2<0,
∴m=1.
∴函數(shù)的解析式為y=-x2-x+6

(2)存在與拋物線只有一個公共點C的直線.
C點的坐標為(0,6),
①當直線過C(0,6)且與x軸垂直時,直線也拋物線只有一個公共點,
∴直線x=0.
②過C點的直線y=kx+6,與拋物線y=x2-x+6只有一個公共點C,
,只有一個實數(shù)解.
∴x2-(k+1)x=0,
又∵△=0,
∴(k+1)2=0,
∴k=-1,
∴y=-x+6.
∴符合條件的直線的表達式為y=-x+6或x=0.
點評:本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系、二次函數(shù)解析式的確定以及函數(shù)圖象交點等知識.
練習冊系列答案
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