Question

17．如圖Rt△ACB中，已知∠BAC=30°，BC=2，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD，等邊△ABE． EF⊥AB，垂足為F，連接DF．
（1）求證：四邊形ADFE是平行四邊形；
（2）求四邊形ADFE的周長．

Answer 1

分析 （1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因為△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可證明△AFE≌△BCA，再根據全等三角形的性質即可證明AC=EF，根據△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形；
（2）直接利用等邊三角形的性質結合平行四邊形的性質得出各邊長即可得出答案．

解答 （1）證明：∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BC}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；
∵△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°，
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四邊形ADFE是平行四邊形；

（2）解：∵∠BAC=30°，BC=2，∠ACB=90°，
∴AB=AE=4，
∵AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=2，
則EF=AD=2$\sqrt{3}$，
故四邊形ADFE的周長為：2（4+2$\sqrt{3}$）=8+4$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質和平行四邊形的判定與性質，正確利用全等三角形的性質和等邊三角形的性質證明平行四邊形是解題關鍵．