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提出問題：如圖，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關系？

探究發(fā)現：為了解決這個問題，我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：

(1)當AP＝AD時(如圖)：

∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S△ABP＝S△ABD．

∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S△CDP＝S△CDA．

∴S△PBC＝S四邊形ABCD－S△ABP－S△CDP

＝S四邊形ABCD－S△ABD－S△CDA

＝S四邊形ABCD－(S四邊形ABCD－S△DBC)－(S四邊形ABCD－S△ABC)

＝S△DBC＋S△ABC．

(2)當時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；

(3)當時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：________；

(4)一般地，當(n表示正整數)時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；

問題解決：當時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：________．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

29、閱讀探究題：數學課上，張老師向大家介紹了等腰三角形的基本知識：有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形，如圖1所示：在△ABC中，若AB=AC，則△ABC為等腰三角形且有∠B=∠C．此時，張老師出示了問題：如圖2，四邊形ABCD是正方形（正方形的四邊相等，四個角都是直角），點E是邊BC的中點．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分線CF于點F，求證：AE=EF．經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：在線段AB上取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，在此基礎上，請聰明的同學們作進一步的研究：
（1）求出角∠AME的度數；
（2）你能在小明的思路下證明結論嗎？
（3）小穎提出：如圖3，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；

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科目：初中數學 來源：數學教研室 題型：044

請閱讀下列材料，并回答所提出的問題。

三角形內角平分線性質定理：三角形的內角平分線分對邊所得的線段與兩

邊對應成比例。

已知：如圖，在△ABC中，AD是角平分線。

求證：＝。

分析：要證＝，一般只要證BD、DC與AB、AC

或BD、AB與DC、AC所在的三角形相似即可，現在點B、D、C

在一條直線上，△ABD與△ADC不相似，需要考慮用別的方法換比。在比例式

＝中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例項，所以考慮過點C作CE//AD，交

BA的延長線于點E，從而得到BD、DC、AB的第四比例項AE，這樣，證明＝

就可以轉化成證AE＝AC。

證明：過點C作CE//DA交BA的延長線于點E。

。

（1）在上述證明過程中，用到了哪些定理？（寫對兩個定理即可）

（2）在上述分析、證明過程中，主要利用到了下列三種數學思想中的哪一種？選出一

個填在后面的括號內………………………………………………………………（  ）

A. 數形結合思想　　　　　　 B. 轉化思想　　　　    C. 分類討論思想

（3）用三角形內角平分線性質定理解答問題。

如下圖，已知在△ABC中，AD是角平分線，AB＝5cm，AC＝4cm，

BC＝7cm，求BD的長。

 

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科目：初中數學 來源：2012年江西撫州市崇仁四中初三第二次月考數學試卷（帶解析） 題型：解答題

問題背景 某課外學習小組在一次學習研討中，得到如下兩個命題：
①如圖1，O是正三角形ABC的中心，∠MON分別與AB、BC交于點P,Q，若∠MON = 120°，則四邊形OPBQ的面積等于三角形ABC面積的三分之一.
②如圖2，O是正方形ABCD的中心，∠MON分別與AB、BC交于點P,Q，若∠MON = 90°，則四邊形OPBQ的面積等于正方形ABCD面積的四分之一.
然后運用類比的思想提出了如下的命題：
③如圖3，O是正五邊形ABCDE的中心，∠MON分別與AB、BC交于點P,Q，若∠MON = 72°，則四邊形OPBQ的面積等于五邊形ABCDE面積的五分之一.
任務要求 
（1）請你從①、②、③三個命題中選擇一個進行證明；（說明：選①做對的得5分，選②做對的得4分，選③做對的得6分）
（2）請你繼續(xù)完成下面的探索：
如圖④，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，O是中心,∠MON分別與AB、BC交于點P,Q，若∠MON等于多少度時，則四邊形OPBQ的面積等于正n邊形ABCDE…面積的n分之一？（不要求證明）
解：（1）我選           .

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科目：初中數學 來源：2012年江西撫州市初三第二次月考數學試卷（解析版） 題型：解答題

問題背景  某課外學習小組在一次學習研討中，得到如下兩個命題：

①如圖1，O是正三角形ABC的中心，∠MON分別與AB、BC交于點P,Q，若∠MON = 120°，則四邊形OPBQ的面積等于三角形ABC面積的三分之一.

②如圖2，O是正方形ABCD的中心，∠MON分別與AB、BC交于點P,Q，若∠MON = 90°，則四邊形OPBQ的面積等于正方形ABCD面積的四分之一.

然后運用類比的思想提出了如下的命題：

③如圖3，O是正五邊形ABCDE的中心，∠MON分別與AB、BC交于點P,Q，若∠MON = 72°，則四邊形OPBQ的面積等于五邊形ABCDE面積的五分之一.

任務要求 

（1）請你從①、②、③三個命題中選擇一個進行證明；（說明：選①做對的得5分，選②做對的得4分，選③做對的得6分）

（2）請你繼續(xù)完成下面的探索：

如圖④，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，O是中心,∠MON分別與AB、BC交于點P,Q，若∠MON 等于多少度時，則四邊形OPBQ的面積等于正n邊形ABCDE…面積的n分之一？（不要求證明）

解：（1）我選           .

 

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

閱讀探究題：

數學課上，張老師向大家介紹了等腰三角形的基本知識：有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形，如圖1所示：在△ABC中，若AB=AC，則△ABC為等腰三角形且有∠B=∠C．此時，張老師出示了問題：如圖2，四邊形ABCD是正方形（正方形的四邊相等，四個角都是直角），點E是邊BC的中點．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分線CF于點F，求證：AE=EF．經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：在線段AB上取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，在此基礎上，請聰明的同學們作進一步的研究：
（1）求出角∠AME的度數；
（2）你能在小明的思路下證明結論嗎？
（3）小穎提出：如圖3，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；

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