Question

【題目】如圖已知，于點(diǎn)，于點(diǎn)交于點(diǎn)．，，．

（1）若，點(diǎn)是上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等時(shí)，求的長(zhǎng)；

（2）若，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）如圖1中，連接AB，作線段AB的中垂線MN，交AB于N，交EF于M，連接AM，BM．設(shè)DM=x．根據(jù)MA=MB構(gòu)建方程即可解決問題；
（2）如圖2中，如圖，作點(diǎn)A故直線GH 的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′交GH于點(diǎn)P，交EF于點(diǎn)Q，作B′H⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于H．則此時(shí)AP+PQ+QB的值最�。�最小值為線段A′B′的長(zhǎng)；

解：（1）如圖1中，連接AB，作線段AB的中垂線MN，交AB于N，交EF于M，連接AM，BM．設(shè)DM=x．

在Rt△ACM中，AM2=AC2+CM2=32+（6-x）2，
在Rt△BDM中，BM2=DM2+BD2=x2+62，
∵AM=MB，
∴32+（6-x）2=x2+62，
解得x=，
∴CM=CD-MD=6- = ．
（2）如圖2中，如圖，作點(diǎn)A故直線GH 的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′交GH于點(diǎn)P，交EF于點(diǎn)Q，作B′H⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于H．

則此時(shí)AP+PQ+QB的值最小．
根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可知：PA=PA′，QB=QB′，
∴PA+PQ+QB=PA′+PQ+QB′=A′B′，
∴PA+PQ+PB的最小值為線段A′B′的長(zhǎng)，
在Rt△A′B′H中，∵HB′=CD= ，

HA′=DB′+CA′=7+6=13，
∴A′B′= ，
∴AP+PQ+QB的最小值為．