Question

（2012•南平）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC如圖所示放置，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，1）（m＞0），將此矩形繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OA′B′C′．
（1）寫出點(diǎn)A、A′、C′的坐標(biāo)；
（2）設(shè)過點(diǎn)A、A′、C′的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，求此拋物線的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）
（3）試探究：當(dāng)m的值改變時(shí)，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)D是否可能落在（2）中的拋物線上？若能，求出此時(shí)m的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，1）（m＞0），求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，再根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出A′、C′的坐標(biāo)即可；
（2）設(shè)過點(diǎn)A、A′、C′的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，把A、A′、C′三點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可得出abc的值，進(jìn)而得出其拋物線的解析式；
（3）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)用m表示出D點(diǎn)坐標(biāo)，把D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式看是否符合即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，1）（m＞0），
∴A（m，0），C（0，1），
∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋轉(zhuǎn)而成，
∴A′（0，m），C′（-1，0）；

（2）設(shè)過點(diǎn)A、A′、C′的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵A（m，0），A′（0，m），C′（-1，0），
∴

am2+bm+c=0 c=m a-b+c=0

，解得

a=-1 b=m-1 c=m

，
∴此拋物線的解析式為：y=-x²+（m-1）x+m；

（3）存在．
∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對稱，B（m，1），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（-m，-1），
∵拋物線的解析式為：y=-x²+（m-1）x+m；
假設(shè)點(diǎn)D（-m，-1）在（2）中的拋物線上，
則y=-（-m）²+（m-1）×（-m）+m=-1，即-2m²+2m+1=0，
∵△=2²-4×（-2）×1=12＞0，
∴此點(diǎn)在拋物線上，解得m=

1+ 3

2

或m=

1- 3

2

（舍去）．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，此題涉及到圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)求出A′、C′的坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．