Question

如圖（1），在平面直角坐標系中，點A的坐標為（8，0），∠OBA=90°，∠AOB=30°，點C為OB中點．點D從O點出發(fā)，沿△OAB的三邊按逆時針方向以2個單位長度/秒的速度運動一周，設點D的運動時間為t秒．
（1）點C的坐標為______；當t=______ 秒時，BD=4；
（2）設O、C、D三點構成的圖形的面積為S，求S與運動時間t的函數關系式；
（3）點E在線段AB上以1個單位長度/秒的速度由點A向點B運動，如圖（2）．若點E與點D同時出發(fā)，在運動4秒鐘內，t為何值時，以點D、A、E為頂點的三角形與△OAB相似？

Answer 1

解：（1）過點C作CM⊥OA，垂足為點M
∵∠AOB=30°，∠OBA=90°
∴cos=30°=
∴=
∴OB=，
∵點C為OB中點，
∴OC=2，
∴CM=OC=，
OM=3，
∴點C的坐標為（3，），
當點D在OA的中點上時，BD=4，t=2；
當點D與點A重合時，BD=4，t=4；
當點D在BO上，且BD=4時，t=8；

（2）當點D在OA上運動時，
S_△OCD=OD•CM==t，
當點D在AB上運動時，
∴S_△OCD=S_△AOB-S_△BCD-S_△AOD，
=××（12-2t）-×8×（t-4），
=12-2t，
所以點D在OB邊上運動時，S_△OCD=0．

（3）過點E作FE∥OB，則△AFE∽△AOB，
，
=，
t=2，
當ED⊥OA時，△ADE∽△ABO，
則=，
=，
t=．
分析：（1）過C點作CM⊥OA，求出CM，OM的長，即可求出C的坐標，確定出當BD=4時，D所在的位置即可求出t的值．
（2）本題分點D在OA上，AB上DB上三種情況討論，分別求出S與t的關系即可．
（3）本題需分DE∥OB和DE⊥OA兩種情況討論，根據三角形相似列出比例式，即可求出t的值．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，在解題時要根據已知條件分情況進行討論，不要漏掉這是解題的關鍵．