Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²+bx-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為M，已知A（-1，0）．
（1）則頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為

 

；
（2）當(dāng)y＞0時(shí)，試寫出x的范圍，并求A、B兩點(diǎn)間的距離；
（3）在拋物線曲線段BMC上有一動(dòng)點(diǎn)D，求四邊形OBDC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：

分析：（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得二次函數(shù)的解析式，可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）可先求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)圖象可寫出滿足條件的x的取值范圍，可求得AB的距離；
（3）根據(jù)題意可知△BOC面積不變，所以當(dāng)D點(diǎn)離BC越遠(yuǎn)則△BCD的面積越大，可平移直線BC，當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為D，再求其面積即可．

解答：解：
（1）∵拋物線過A點(diǎn)，
∴1-b-3=0，解得b=-2，
∴拋物線為y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），
故答案為：（1，-4）；
（2）由（1）可知拋物線解析式為y=x²-2x-3，
令y=0可得x²-2x-3=0，解得x=3或x=-1，
∴當(dāng)y＞0時(shí)，x＜-1或x＞3，
且A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4；
（3）由題意可知C（0，-3），B（3，0），
可設(shè)直線BC解析式為y=kx-3，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得k=1，
∴直線BC解析式為y=x-3，
把直線BC向下平移，得到直線B′C′，可設(shè)直線B′C′的解析式為y=x+m，
∵△BOC面積不變，
∴當(dāng)D點(diǎn)離直線BC越遠(yuǎn)，四邊形OBDC的面積越大，
∴當(dāng)直線B′C′與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為D點(diǎn)，
聯(lián)立直線B′C′和拋物線的解析式，消去y可得x²-3x-3-m=0，
根據(jù)題意可知△=0，即9+4（3+m）=0，解得m=-

21

4

，
代入可求得x=

3

2

，∴D為（

3

2

，-

19

4

），
如圖，過D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，則OE=

19

4

，DE=

3

2

，CE=

7

4

，

∴S_{四邊形OBDC}=S_梯形OBDE-S_△CDE=

1

2

（OB+DE）OE-

1

2

DE•CE=

1

2

×（3+

3

2

）×

19

4

-

1

2

×

3

2

×

7

4

=

75

8

，
綜上可知四邊形OBDC的最大值為

75

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系數(shù)、函數(shù)的交點(diǎn)等問題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的關(guān)鍵是求得點(diǎn)的坐標(biāo)，在（3）中確定出四邊形OBDC面積最大時(shí)的點(diǎn)D的位置是解題的關(guān)鍵．