Question

2．已知：如圖，正方形ABCD，∠ECF=135°，∠BCE=∠DCG=∠GCH．求證：H為EF的中點．

Answer 1

分析 如圖，延長EC到M，使得EC=CM，連接FM．先證明△CBE≌△CDG，再證明△FCG≌△FCM，推出∠HCE=∠M，推出CH∥FM，由此即可證明．

解答 證明：如圖，延長EC到M，使得EC=CM，連接FM．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ADC=∠BCD=∠CBE=90°，AD∥BC，
在△CBE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GCD=∠BCE}\\{∠CDG=∠CBE}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△CBE，
∴CE=CG=CM，
∵∠ECF=135°，
∴∠MCF=45°，
∵∠ECG=∠BCD=90°，
∴∠GCF=45°=∠MCF，
在△CFG和△CFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF}\\{∠FCG=∠FCM}\\{CG=CM}\end{array}\right.$，
∴△FCG≌△FCM，
∴∠CGF=∠M，
∵∠CGF=∠GCB=∠HCE，
∴∠M=∠HCE，
∴CH∥FM，
∵EC=CM，
∴EH=HF．
∴H為EF中點．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．