Question

如圖，矩形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)都在圓O上，將矩形ABCD繞點(diǎn)0按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度，其中0°＜α≤90°，旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形AD內(nèi)的部分可能是三角形（如圖1）、直角梯形（如圖2）、矩形（如圖3）．已知AB=6，AD=8．

（1）如圖3，當(dāng)α=______度時(shí)，旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形內(nèi)的部分呈矩形，此時(shí)該矩形的周長是______；
（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形內(nèi)的部分是直角梯形時(shí)，設(shè)A₂D₂、B₂C₂分別與AD相交于點(diǎn)為E、F，求證：A₂F=DF，AE=B₂E；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形AD內(nèi)的部分為三角形、直角梯形、矩形時(shí)所對(duì)應(yīng)的周長分別是c_l、c₂、c₃，圓O的半徑為R，當(dāng)c₁+c₂+c₃=5R時(shí)，求c₁的值；
（4）如圖1，設(shè)旋轉(zhuǎn)后A₁B₁、A₁D₁與AD分別相交于點(diǎn)M、N，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到△A₁MN正好是等腰三角形時(shí)，判斷圓O的直徑與△A₁MN周長的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)α=90°時(shí)，旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形內(nèi)的部分呈矩形，
此時(shí)該矩形的周長是6×2+（8-6）=14．

（2）①如圖，連接A₂D，
∵=，
∴∠ADA₂=∠DA₂D₂；
∴A₂F=DF．
②如圖，連接AB₂∵AD=B₂C₂，
∴=；
∴-=-；
∴=；
∴∠AB₂C₂=∠DAB₂；
∴AE=B₂E．

（3）由（1）（2）得C₂=8，C₃=8
∵AB=6，AD=8，∠A=90°，
∴R=5，
當(dāng)C₁+C₂+C₃=5R時(shí)，C₁=9；

（4）如圖，設(shè)A₁B₁交AB于P，A₁M=a，AM=b，
∵△AMN正好是等腰三角形，∠A₁=90°，
∴∠A₁NM=∠A₁MN=∠AMP=45°；
∴MN==a，
∴AD=AM+MN+ND=b+a+a=8…（一）；
同（1）①可證AP=B₁P；
∴A₁B₁=A₁M+MP+PB₁=a+b+b=6…（二）；
（二）-（一）得：a-b=2；
∴a-b=，即A₁M-AM=；
∴△A₁MN的周長=AD+=8+；
而⊙O的直徑為10，
∴⊙O的直徑與△A₁MN的周長差為10-（8+）=2-＞0；
∴⊙O的直徑大于△A₁MN的周長．
分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可以得到旋轉(zhuǎn)角應(yīng)是90°，根據(jù)矩形的長和寬即可計(jì)算得到的矩形的周長；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的弧相等，再根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等和等角對(duì)等邊進(jìn)行證明；
（3）根據(jù)矩形的外接圓的圓心即是其對(duì)角線的交點(diǎn)，得到矩形的外接圓的半徑等于其對(duì)角線的一半5，再根據(jù)（1）和（2）的思路，可以求得它們的周長分別是8，再進(jìn)一步求得C₁的長；
（4）根據(jù)矩形的角都是直角，則該三角形應(yīng)是等腰直角三角形．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和矩形的長和寬列方程求得三角形的周長，再進(jìn)一步運(yùn)用求差法比較其大�。�
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)．綜合性強(qiáng)，難度較大．