【題目】如圖1,已知拋物線y=ax2+2x+c(a≠0),與y軸交于點A(0,6),與x軸交于點B(6,0).
(1)求這條拋物線的表達(dá)式及其頂點坐標(biāo);
(2)設(shè)點P是拋物線上的動點,若在此拋物線上有且只有三個P點使得△PAB的面積是定值S,求這三個點的坐標(biāo)及定值S.
(3)若點F是拋物線對稱軸上的一點,點P是(2)中位于直線AB上方的點,在拋物線上是否存在一點Q,使得P、Q、B、F為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點Q的坐標(biāo);若不存請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+6,頂點坐標(biāo)為(2,8);(2)點P'(3+3,﹣﹣3),P'(3﹣3,﹣+3),S=;(3)存在,點Q(7,﹣)或(﹣1,)或(5,).
【解析】
(1)將交點坐標(biāo)代入解析式可求解;
(2)設(shè)AB上方的拋物線上有點P,過點P作AB的平行線交對稱軸于點C,且與拋物線只有一個交點為P,設(shè)區(qū)PC解析式與拋物線解析式組成方程組,由△=0,可求PC解析式,可求點P坐標(biāo),由等底等高的三角形面積相等,可得另兩個點所在直線與AB,PC都平行,且與AB的距離等于PC與AB的距離,可求P'E的解析式,即可求解;
(3)分兩種情況討論,由平行四邊形的性質(zhì)可求解.
解:(1)∵拋物線y=ax2+2x+c(a≠0),與y軸交于點A(0,6),與x軸交于點B(6,0).
∴
∴
∴拋物線解析式為:y=﹣x2+2x+6,
∵y=﹣x2+2x+6=﹣(x﹣2)2+8,
∴頂點坐標(biāo)為(2,8)
(2)∵點A(0,6),點B(6,0),
∴直線AB解析式y=﹣x+6,
當(dāng)x=2時,y=4,
∴點D(2,4)
如圖1,設(shè)AB上方的拋物線上有點P,過點P作AB的平行線交對稱軸于點C,且與拋物線只有一個交點為P,
設(shè)直線PC解析式為y=﹣x+b,
∴﹣x2+2x+6=﹣x+b,且只有一個交點,
∴△=9﹣4××(b﹣6)=0
∴b=,
∴直線PC解析式為y=﹣x+,
∴當(dāng)x=2,y=,
∴點C坐標(biāo)(2,),
∴CD=,
∵﹣x2+2x+6=﹣x+,
∴x=3,
∴點P(3,)
∵在此拋物線上有且只有三個P點使得△PAB的面積是定值S,
∴另兩個點所在直線與AB,PC都平行,且與AB的距離等于PC與AB的距離,
∴DE=CD=,
∴點E(2,﹣),
設(shè)P'E的解析式為y=﹣x+m,
∴﹣=﹣2+m,
∴m=
∴P'E的解析式為y=﹣x+,
∴﹣x2+2x+6=﹣x+,
∴x=3±3,
∴點P'(3+3,﹣﹣3),P'(3﹣3,﹣+3),
∴S=×6×(﹣3)=.
(3)設(shè)點Q(x,y)
若PB是對角線,
∵P、Q、B、F為頂點的四邊形是平行四邊形
∴BP與FQ互相平分,
∴
∴x=7
∴點Q(7,﹣);
若PB為邊,
∵P、Q、B、F為頂點的四邊形是平行四邊形,
∴BF∥PQ,BF=PQ,或BQ∥FP,BQ=PF,
∴xB﹣xF=xP﹣xQ,或xB﹣xQ=xP﹣xF,
∴xQ=3﹣(6﹣2)=﹣1,或xQ=6﹣(3﹣2)=5,
∴點Q(﹣1,)或(5,);
綜上所述,點Q(7,﹣)或(﹣1,)或(5,).
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【題目】如圖,在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了46米木欄.
(1)若a=26,所圍成的矩形菜園的面積為280平方米,求所利用舊墻AD的長;
(2)求矩形菜園ABCD面積的最大值.
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【題目】如圖1,在矩形中,,點從點出發(fā)向點移動,速度為每秒1個單位長度,點從點出發(fā)向點移動,速度為每秒2個單位長度. 兩點同時出發(fā),且其中的任何一點到達(dá)終點后,另一點的移動同時停止.
(1)若兩點的運動時間為,當(dāng)為何值時,?
(2)在(1)的情況下,猜想與的位置關(guān)系并證明你的結(jié)論.
(3)①如圖2,當(dāng)時,其他條件不變,若(2)中的結(jié)論仍成立,則_________.
②當(dāng),時,其他條件不變,若(2)中的結(jié)論仍成立,則_________(用含的代數(shù)式表示).
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中點,E是AD的中點,過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F.
(1)求證:四邊形ADCF是菱形;
(2)若AC=12,AB=16,求菱形ADCF的面積.
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【題目】2016年3月,我市某中學(xué)舉行了“愛我中國朗誦比賽”活動,根據(jù)學(xué)生的成績劃分為A、B、C、D四個等級,并繪制了不完整的兩種統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:
(1)參加朗誦比賽的學(xué)生共有 人,并把條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
(2)扇形統(tǒng)計圖中,m= ,n= ;C等級對應(yīng)扇形有圓心角為 度;
(3)學(xué)校欲從獲A等級的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,參加市舉辦的朗誦比賽,請利用列表法或樹形圖法,求獲A等級的小明參加市朗誦比賽的概率.
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【題目】丹尼斯超市進(jìn)了一批成本為 8 元/個的文具盒. 調(diào)查發(fā)現(xiàn):這種文具盒每個星期的銷售量y(個)與它的定價 x(元/個)的關(guān)系如圖所示:
(1)求這種文具盒每個星期的銷售量 y(個)與它的定價 x(元/個)之間的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出自變量 x的取值范圍);
(2)每個文具盒的定價是多少元,超市每星期銷售這種文具盒 (不考慮其他因素)可或得的利潤為 1200 元?
(3)若該超市每星期銷售這種文具盒的銷售量小于 115 個, 且單件利潤不低于 4 元(x 為整數(shù)),當(dāng)每個文具盒定價多少 元時,超市每星期利潤最高?最高利潤是多少?
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,O是AB上一點,以O為圓心,OA為半徑作圓與BC相切于點E,交AB于點D,連接DE,作∠DEA的平分線EF交⊙O于點F,連接AF.
(1)求證:AE平分∠BAC
(2)若sin∠EFA=,AF=,求線段AC的長
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