Question

17．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+3交x軸于A（-1，0）和B（5，0）兩點，交y軸于點C，點D是線段OB上一動點，連接CD，將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，過點E作直線l⊥x軸于H，過點C作CF⊥l于點F．
（1）求拋物線解析式；
（2）如圖②，當(dāng)點F恰好在拋物線上時，求線段OD的長；
（3）在（2）的條件下：試探究在直線l上，是否存在點G，使∠EDG=45°．若存在，請直接寫出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；
（2）先求出點F（4，3），在判斷出△OCD≌△HDE，再做簡單的計算即可；
（3）先求出E（4，1），再根據(jù)直線之間的關(guān)系用待定系數(shù)法依次求出，直線CE解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，直線DG₂的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3交x軸于A（-1，0），B（5，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{25a+5b+3=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{5}}\\{b=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
∴拋物線y=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3，
（2）∵點F恰好在拋物線上，C（0，3），
∴F的縱坐標(biāo)為3，
把y=3代入y=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3，得3=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3，
∴x=0，或x=4，
∴F（4，3），
∴OH=4，
∵∠CDE=90°，
∴∠ODC+∠HDC=90°，
∴∠OCD=∠HDE，
在△OCD和△HDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCD=∠HDE}\\{∠COD=DHE}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△HDE，
∴DH=OC=3，
∴OD=4-3=1；
（3）存在，如圖，

連接CE，
∵CD=DE，∠CDE=90°，
∴∠CED=45°，
過點D作DG₁∥CE，過點D作DG₂⊥CE，
∴∠EDG₁=45°，∠EDG₂=45°，
∵EH=OD=1，OH=4，
∴E（4，1），
∵C（0，3），
∴直線CE解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，
設(shè)直線DG₂的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+m，
∵D（1，0），
∴0=-$\frac{1}{2}$×1+m，
∴m=$\frac{1}{2}$，
∴直線DG₂的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，
當(dāng)x=4時，y=-$\frac{1}{2}$×4×+$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
∴G₁（4，-$\frac{3}{2}$），
設(shè)直線DG₁的解析式為y=2x+n，
∵D（1，0），
∴0=2×1+n，
∴n=-2，
∴直線DG₁的解析式為y=2x-2．
當(dāng)x=4時，y=6，
∴G₂（4，6）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了用待定系數(shù)法求拋物線，直線解析式，三角形全等的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是尋找出直線之間的關(guān)系來確定直線解析式．