Question

16．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點C的切線交AB的延長線于點D，若∠A=∠D，CD=3，則圖中陰影部分的面積為$\frac{3\sqrt{3}-π}{2}$．

Answer 1

分析 連接OC，可求得△OCD和扇形OCB的面積，進而可求出圖中陰影部分的面積．

解答 解：連接OC，
∵過點C的切線交AB的延長線于點D，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
即∠D+∠COD=90°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=2∠A，
∵∠A=∠D，
∴∠COD=2∠D，
∴3∠D=90°，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°
∵CD=3，
∴OC=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴陰影部分的面積=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$-$\frac{60π×3}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}-π}{2}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}-π}{2}$．

點評 本題主要考查切線的性質(zhì)及扇形面積的計算，掌握過切點的半徑與切線垂直是解題的關鍵．求出∠D=30°是解題的突破口．