【題目】已知:正方形ABCD,等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)落在正方形的頂點(diǎn)D處,使三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn).
(1)當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí),猜想CE與AF的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(2)在(1)的條件下,若DE:AE:CE=1::3,求∠AED的度數(shù);
(3)若BC=4,點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn),連結(jié)DM,DM與AC交于點(diǎn)O,當(dāng)三角板的邊DF與邊DM重合時(shí)(如圖2),若OF=,求DF和DN的長.
【答案】(1)CE=AF,見解析;(2)∠AED=135°;(3),.
【解析】
(1)由正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)判斷出△ADF≌△CDE即可;
(2)設(shè)DE=k,表示出AE,CE,EF,判斷出△AEF為直角三角形,即可求出∠AED;
(3)由AB∥CD,得出,求出DM,DO,再判斷出△DFN∽△DCO,得到,求出DN、DF即可.
解:(1)CE=AF,
在正方形ABCD和等腰直角三角形CEF中,FD=DE,CD=AD,∠ADC=∠EDF=90°,
∴∠ADF=∠CDE,
∴△ADF≌△CDE(SAS),
∴CE=AF;
(2)設(shè)DE=k,
∵DE:AE:CE=1::3
∴AE=k,CE=AF=3k,
∴EF=k,
∵AE2+EF2=7k2+2k2=9k2,AF2=9k2,
即AE2+EF2=AF2
∴△AEF為直角三角形,
∴∠AEF=90°
∴∠AED=∠AEF+DEF=90°+45°=135°;
(3)∵M(jìn)是AB的中點(diǎn),
∴MA=AB=AD,
∵AB∥CD,
∴△MAO∽△DCO,
∴,
在Rt△DAM中,AD=4,AM=2,
∴DM=2,
∴DO=,
∵OF=,
∴DF=,
∵∠DFN=∠DCO=45°,∠FDN=∠CDO,
∴△DFN∽△DCO,
∴,即,
∴DN=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在銳角三角形ABC中,點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上,AG⊥BC于點(diǎn)G,AF⊥DE于點(diǎn)F,∠EAF=∠GAC.
(1)求證:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=BE=4,AE=3,求CD的值.
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【題目】如圖,將矩形紙片ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折起,恰好拼成一個(gè)無縫隙,無重疊的四邊形EFGH,設(shè)AB=a,BC=b,若AH=1,則( 。
A.a2=4b﹣4B.a2=4b+4C.a=2b﹣1D.a=2b+1
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【題目】如圖,正方形ABCD和Rt△AEF,AB=5,AE=AF=4,連接BF,DE.若△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)∠ABF最大時(shí),S△ADE=_____.
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【題目】如圖,在x軸的上方,直角∠BOA繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)、的圖象交于B、A兩點(diǎn),則∠OAB大小的變化趨勢為( )
A.逐漸變小B.逐漸變大C.時(shí)大時(shí)小D.保持不變
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C、G是⊙O上兩點(diǎn),且,過點(diǎn)C的直線CDBG于點(diǎn)D,交BA的延長線于點(diǎn)E,連接BC,交OD于點(diǎn)F.
(1)求證:CD是⊙O的切線.
(2)若,求E的度數(shù).
(3)連接AD,在(2)的條件下,若CD=,求AD的長.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+3x+c(a<0)與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè),點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,OB=OC=4.
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式.
(2)如圖1,連接BC,點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的點(diǎn),連接OD,CD.OD交BC于點(diǎn)F,當(dāng)S△COF:S△CDF=4:3時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).
(3)如圖2,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-2),點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn),連接EB,PB,PE形成的△PBE中,是否存在點(diǎn)P,使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE?若存在,請直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在中,,作的角平分線交于點(diǎn),以為圓心,為半徑作圓.
(1)依據(jù)題意補(bǔ)充完整圖形;(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)求證:與直線相切;
(3)在(2)的條件下,若與直線相切的切點(diǎn)為,與相交于點(diǎn),連接,;其中,,求的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形AOCB的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸上,且OA=2,OC=1.在第二象限內(nèi),將矩形AOCB以原點(diǎn)O為位似中心放大為原來的倍,得到矩形A1OC1B1,再將矩形A1OC1B1以原點(diǎn)O為位似中心放大倍,得到矩形A2OC2B2,以此類推,得到的矩形A2020OC2020B2020的對角線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為______________.
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