Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA=2，OC=6，在OC上取點D將△AOD沿AD翻折，使O點落在AB邊上的E點處，將一個足夠大的直角三角板的頂點P從D點出發(fā)沿線段DA→AB移動，且一直角邊始終經(jīng)過點D，另一直角邊所在直線與直線DE，BC分別交于點M，N．

（1）填空：經(jīng)過A，B，D三點的拋物線的解析式是；
（2）已知點F在（1）中的拋物線的對稱軸上，求點F到點B，D的距離之差的最大值；
（3）如圖1，當點P在線段DA上移動時，是否存在這樣的點M，使△CMN為等腰三角形？若存在，請求出M點坐標；若不存在，請說明理由；
（4）如圖2，當點P在線段AB上移動時，設P點坐標為（x，﹣2），記△DBN的面積為S，請直接寫出S與x之間的函數(shù)關系式，并求出S隨x增大而增大時所對應的自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣ x2﹣ x﹣2
（2）

解：∵點A，B關于拋物線的對稱軸對稱，

∴FA=FB，

∴|FB﹣FD|=|FA﹣FD|，

∵|FA﹣FD|≤AD=2 ，

∴點F到點B，D的距離之差的最大值是2 ；

（3）

解：存在點M使△CMN為等腰三角形，理由如下：

由翻折可知四邊形AODE為正方形，過M作MH⊥BC于H，

∵∠PDM=∠PMD=45°，則∠NMH=∠MNH=45°，NH=MH=4，MN=4 ，

∵直線OE的解析式為：y=x，依題意得MN∥OE，∴設MN的解析式為y=x+b，

而DE的解析式為x=﹣2，BC的解析式為x=﹣6，

∴M（﹣2，﹣2+b），N（﹣6，﹣6+b），CM2=42+（﹣2+b）2，CN2=（﹣6+b）2，MN2=（4 ）2=32，

①當CM=CN時，42+（﹣2+b）2=（﹣6+b）2，解得：b=2，此時M（﹣2，0）；

②當CM=MN時，42+（﹣2+b）2=32，解得：b1=﹣2，b2=6（不合題意舍去），此時M（﹣2，﹣4）；

③當CN=MN時，6﹣b=4 ，解得：b=﹣4 +6，此時M（﹣2，4﹣4 ）；

綜上所述，使△CMN為等腰三角形的M點的坐標為：（﹣2，0），（﹣2，﹣4），（﹣2，4﹣4 ）；

（4）

解：當﹣2≤x≤0時，∵∠BPN+∠DPE=90°，∠BPN+∠BNP=90°，

∴∠DPE=∠BNP，又∠PED=∠NBP=90°，

∴△DEP∽△PBN，

∴ = ，

∴ = ，

∴BN= ，

∴S△DBN= BN×BE= × ×4，整理得：S=x2+8x+12；

當﹣6≤x＜﹣2時，

∵△PBN∽△DEP，

∴ = ，

∴ = ，

∴BN= ，

∴S△DBN= BN×BE= × ×4，整理得：S=﹣x2﹣8x﹣12；

則S與x之間的函數(shù)關系式：S= ，

①當﹣2≤x≤0時，S=x2+8x+12=（x+4）2﹣4，當x≥﹣4時，S隨x的增大而增大，即﹣2≤x≤0，

②當﹣6≤x＜﹣2時，S=﹣x2﹣8x﹣12=﹣（x+4）2+4，當x≤﹣4時，S隨x的增大而增大，即﹣6≤x≤﹣4，

綜上所述：S隨x增大而增大時，﹣2≤x≤0或﹣6≤x≤﹣4．

【解析】解：（1）設拋物線解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），
∵將△AOD沿AD翻折，使O點落在AB邊上的E點處，
∴∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，
∴OA=OD，
∵OA=2，
∴OD=2，
∴D點坐標是（2，0），
把A（0，﹣2），B（﹣6，﹣2），D（2，0）分別代入y=ax2+bx+c（a≠0），得
，解得 ，
故拋物線解析式為：y=﹣ x2﹣ x﹣2．
故答案是：y=﹣ x2﹣ x﹣2；
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的應用，掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解即可以解答此題．