Question

在正方形ABCD中，點P是對角線AC上一點，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別是E、F．
求證：DP=EF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接PB，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠DCB=90°，∠DCP=∠PCB=45°，DC=BC，然后求出四邊形PECF是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等可得PB=EF，再利用“邊角邊”證明△DPC和△BPC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DP=PB，從而得出DP=EF．

解答： 解：連接PB，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠DCB=90°，∠DCP=∠PCB=45°，DC=BC，
又∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠PEC=90°，∠PFB=90°，
∴四邊形PECF為矩形，
∴BP=EF，
在△DPC和△BPC中，

DC=BC ∠DCP=∠PCB PC=PC

，
∴△DPC≌△BPC（SAS），
∴DP=PB，
∴DP=EF．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．