【題目】如圖1,已知拋物線過點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn),當(dāng)時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)如圖2.拋物線與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)P是該拋物線上位于第二象限的點(diǎn),線段PA交BE于點(diǎn)M,交y軸于點(diǎn)N,和的面積分別為,求的最大值.
【答案】(1),頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為-(-1,4);(2);(3)的最大值為.
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法,將A,B的坐標(biāo)代入即可求得二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H,在中,可求得,推出,可證,利用相似三角形的性質(zhì)可求出AD的長度,進(jìn)一步可求出點(diǎn)D的坐標(biāo),由對(duì)稱性可直接求出另一種情況;
(3)設(shè)代入,求出直線PA的解析式,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),由,可推出,再用含a的代數(shù)式表示出來,最終可用函數(shù)的思想來求出其最大值.
解:(1)由題意把點(diǎn)代入,
得,,
解得,
∴此拋物線解析式為:,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為
(2)∵拋物線頂點(diǎn),
∴拋物線對(duì)稱軸為直線,
設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H,
則,
在中,,
,
∴當(dāng)時(shí),
如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí),
,
,
,
,
,
當(dāng)點(diǎn)D在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)D'的坐標(biāo)為,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為或;
(3)設(shè),
將代入,
得,,
解得,,
當(dāng)時(shí),,
如圖2,
,
由二次函數(shù)的性質(zhì)知,當(dāng)時(shí),有最大值,
和的面積分別為m、n,
的最大值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣4,0)和點(diǎn)B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸是x=﹣1與x軸交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)P(m,n)為拋物線上一點(diǎn),且﹣4<m<﹣1,過點(diǎn)P作PE∥x軸,交拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1于點(diǎn)E,作PF⊥x軸于點(diǎn)F,得到矩形PEDF,求矩形PEDF周長的最大值;
(3)點(diǎn)Q為拋物線對(duì)稱軸x=﹣1上一點(diǎn),是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)Q,B,C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,、分別為軸、軸正半軸上的點(diǎn),以、為邊,在一象限內(nèi)作矩形,且.將矩形翻折,使點(diǎn)與原點(diǎn)重合,折痕為,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第四象限,過點(diǎn)的反比例函數(shù),其圖象恰好過的中點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著智能手機(jī)的普及率越來越高以及移動(dòng)支付的快捷高效性,中國移動(dòng)支付在世界處于領(lǐng)先水平.為了解人們平時(shí)最喜歡用哪種移動(dòng)支付方式,因此在某步行街對(duì)行人進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查,以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果分別整理的不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖.
移動(dòng)支付方式 | 支付寶 | 微信 | 其他 |
人數(shù)/人 |
| 200 | 75 |
請(qǐng)你根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖提供的信息.完成下列問題:
(1)在此次調(diào)查中,使用支付寶支付的人數(shù);
(2)求表示微信支付的扇形所對(duì)的圓心角度數(shù);
(3)某天該步行街人流量為10萬人,其中30%的人購物并選擇移動(dòng)支付,請(qǐng)你依據(jù)此次調(diào)查獲得的信息估計(jì)一下當(dāng)天使用微信支付的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=4﹣x與雙曲線y交于A,B兩點(diǎn),過B作直線BC⊥y軸,垂足為C,則以OA為直徑的圓與直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)的圖象與直線都經(jīng)過點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和直線的解析式.
(2)將一次函數(shù)的圖象沿軸向下平移個(gè)單位長度,使平移后的圖象與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,菱形 ABOC 的頂點(diǎn) O 在坐標(biāo)原點(diǎn),邊 BO 在 x 軸的負(fù)半軸上,頂點(diǎn) C的坐標(biāo)為(﹣3,4),反比例函數(shù) y 的圖象與菱形對(duì)角線 AO 交于 D 點(diǎn),連接 BD,當(dāng) BD⊥x 軸時(shí),k的值是( )
A.B.C.﹣12D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)都是實(shí)數(shù),且.我們規(guī)定:滿足不等式的實(shí)數(shù)的所有值的全體叫做閉區(qū)間、表示為.對(duì)于一個(gè)函數(shù),如果它的自變量與函數(shù)值滿足:當(dāng)時(shí),有,我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”.
(1)反比例函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”嗎?請(qǐng)判斷并說明理由;
(2)若一次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”,求此一次函數(shù)的解析式;
(3)若實(shí)數(shù)滿足.且,當(dāng)二次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”時(shí),求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解全校學(xué)生對(duì)電視節(jié)目的喜愛情況(新聞、體育、動(dòng)畫、娛樂、戲曲),從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,并把調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有多少人?并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“體育”對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是?
(3)若該校約有1500名學(xué)生,估計(jì)全校學(xué)生中喜歡娛樂節(jié)目的有多少人?
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