【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣4,0)和點B兩點,與y軸交于點C,拋物線的對稱軸是x=﹣1與x軸交于點D.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)若點P(m,n)為拋物線上一點,且﹣4<m<﹣1,過點P作PE∥x軸,交拋物線的對稱軸x=﹣1于點E,作PF⊥x軸于點F,得到矩形PEDF,求矩形PEDF周長的最大值;
(3)點Q為拋物線對稱軸x=﹣1上一點,是否存在點Q,使以點Q,B,C為頂點的三角形是直角三角形?若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+8;(2)當m=﹣時,矩形PEDF的周長有最大值是;(3)存在,點Q (﹣1,)或(﹣1,﹣)或(﹣1,4+)或(﹣1,4﹣).
【解析】
(1)根據(jù)拋物線對稱軸公式求b的值,然后將A點坐標代入解析式求c的值,從而求解;
(2)設P點坐標為(m,n),由題意n═﹣m2﹣2m+8,從而表示出矩形周長的函數(shù)關系式,然后利用二次函數(shù)的性質求最值;
(3)設Q(﹣1,y),結合圖形用勾股定理分別表示出QB2 =9+y2,QC2=1+(y﹣8)2,BC2=68,然后分∠QCB=90°,∠QBC=90°,∠BQC=90°三種情況列方程求解,從而確定點Q坐標.
解:(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸是x=﹣1,
∴﹣=﹣1,b=﹣2,
∴y=﹣x2﹣2x+c,
把A(﹣4,0)代入得:﹣16+8+c=0,∴c=8,
∴拋物線的函數(shù)表達式為:y=﹣x2﹣2x+8;
(2)∵點P(m,n)為拋物線上一點,且﹣4<m<﹣1,如圖1,
,
∴n═﹣m2﹣2m+8.
∵四邊形PEDF是矩形,
∴矩形PEDF的周長=2PE+2PF
=2(﹣1﹣m)+2(﹣m2﹣2m+8)
=﹣2m2﹣6m+14
=﹣2(m+)2+.
∵﹣2<0,∴當m=﹣時,矩形PEDF的周長有最大值是;
(3)存在點Q,使以點Q,B,C為頂點的三角形是直角三角形.
∵點Q為拋物線對稱軸x=﹣1上一點,∴設Q(﹣1,y),
由對稱得:B(2,0).
∵C(0,8),
∴QB2=(2+1)2+y2=9+y2,QC2=(﹣1)2+(y﹣8)2=1+(y﹣8)2,BC2=22+82=4+64=68,
分三種情況:
①當∠QCB=90°時,QB是斜邊,∴QB2=QC2+BC2,∴9+y2=1+(y﹣8)2+68
解得:y=,
∴Q(﹣1,);
②當∠QBC=90°時,QC是斜邊.
∵QC2=BC2+QB2,∴1+(y﹣8)2=68+9+y2,
解得:y=﹣,
∴Q(﹣1,﹣);
③當∠BQC=90°時,BC是斜邊.
∵BC2=BQ2+QC2,∴68=1+(y﹣8)2+9+y2,
解得:y=4±,∴Q(﹣1,4+)或(﹣1,4﹣);
綜上,點Q的坐標是(﹣1,)或(﹣1,﹣)或(﹣1,4+)或(﹣1,4﹣).
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【題目】如圖,在正方形中,點E在邊上,將點E繞點D逆時針旋轉得到點F,若點F恰好落在邊的延長線上,連接,,.
(1)判斷的形狀,并說明理由;
(2)若,則的面積為________.
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【題目】在中,,,.動點分別從點同時出發(fā),點以每秒1個單位的速度沿勻速運動.點沿折線向終點勻速運動,在上的速度分別是每秒個單位、每秒2個單位.當點停止時,點也隨之停止運動.連按,將繞著點逆時針旋轉得到,連按,設點的運動時間為.
(1)用含的代數(shù)式表示的長.
(2)當點與的頂點重合時,求的長.
(3)設的面積為,求與之間的函數(shù)關系式.
(4)點出發(fā)后,當與的邊所夾的角被平分時,直按寫出的值.
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【題目】2019年4月18日,臺灣省花蓮善線發(fā)生里氏級地震,救援隊救援時,利用生命探測儀在某建筑物廢墟下方探測到點處有生命跡象,已知廢墟一側地面上兩探測點相距6米,探測線與地面的夾角分別為和,如圖所示,試確定生命所在點的深度(結果精確到米,參考數(shù)據(jù))
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【題目】在平面直角坐標系中,正方形ABCD的位置如圖所示,點A的坐標為(1,0),點D的坐標為(0,3).延長CB交x軸于點A1,作正方形A1B1C1C;延長C1B1交x軸于點A2,作正方形A2B2C2C1,…,按這樣的規(guī)律進行下去,第2017個正方形的面積為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點.
(1)當時,若點在該二次函數(shù)的圖象上,求該二次函數(shù)的表達式;
(2)已知點,在該二次函數(shù)的圖象上,求的取值范圍;
(3)當時,若該二次函數(shù)的圖象與直線交于點,,且,求的值.
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD是菱形,BC∥x軸,點B的坐標是(1,),坐標原點O是AB的中點.動圓⊙P的半徑是,圓心在x軸上移動,若⊙P在運動過程中只與菱形ABCD的一邊相切,則點P的橫坐標m 的取值范圍是_________.
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【題目】如圖1,已知拋物線過點.
(1)求拋物線的解析式及其頂點C的坐標;
(2)設點D是x軸上一點,當時,求點D的坐標;
(3)如圖2.拋物線與y軸交于點E,點P是該拋物線上位于第二象限的點,線段PA交BE于點M,交y軸于點N,和的面積分別為,求的最大值.
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