Question

自變量為x的二次函數(shù)y=ax²+（6a-2）x+9a-7（a＞0）．
（1）若a=1，-4≤x≤3，求函數(shù)值y的最大值與最小值；并分別指出所對應(yīng)的自變量x的值；
（2）當(dāng)a變化時(shí)，該二次函數(shù)圖象是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由；
（3）若該二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，而且兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均小于-1，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）y=x²+4x+2=（x+2）²-2
因?yàn)?4≤x≤3，開口向上，對稱軸x=-2
所以當(dāng)x=-2時(shí)，有最小值-2，當(dāng) x=3時(shí)，有最大值23．

（2）將二次函數(shù)整理成y=a（x²+6x+9）-2x-7
令x²+6x+9=0?x=-3，將x=-3代入，則y=-1
經(jīng)過驗(yàn)證點(diǎn)（-3，-1）滿足函數(shù)表達(dá)式，所以該二次函數(shù)圖象經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，坐標(biāo)為（-3，-1）．

（3）由（2）的結(jié)論，再由開口向上，可以知道該二次函數(shù)圖象必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
將x=-1代入表達(dá)式，得到相應(yīng)的函數(shù)值為4a-5，要想兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均小于-1，只需要4a-5＞0
所以a＞．
分析：（1）a值大于0，說明拋物線的開口向上；首先判斷拋物線的對稱軸是否在自變量的取值范圍內(nèi)，若在，那么頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為y的最小值；此時(shí)距拋物線對稱軸最遠(yuǎn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是y的最大值．若不在，只需判斷距拋物線對稱軸的遠(yuǎn)近就能得出y的最大或最小值．可通過作圖來輔助理解．
（2）將涉及a的項(xiàng)整理到一起，提取a后將含a的式子設(shè)為0（只有這樣才能令a的值影響不到函數(shù)值），取得此時(shí)的自變量值后代入拋物線的解析式，即可判斷出該拋物線是否經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)．
（3）已知拋物線的開口向上、且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)都在（-1，0）的左側(cè)，那么當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)值一定大于0，可根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)來確定a的取值范圍．
點(diǎn)評：該題的計(jì)算過程并不復(fù)雜，難在理出解題的思路；在解題時(shí)，要注意拋物線的開口方向（關(guān)鍵看二次項(xiàng)系數(shù)）、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等關(guān)鍵點(diǎn)，在解題時(shí)，一定要輔以圖形以便更好的找出便捷的解題方法．