Question

在△ABC中
（1）如圖①，∠A=60°，∠B、∠C的平分線交于點P，求∠BPC的度數(shù)．
（2）如圖②，∠A=60°，∠B、∠C的三等分線交于點P（∠1=

1

3

∠ABC，∠2=

1

3

∠ACB），求∠BPC的度數(shù)．
（3）如圖③，∠A=x°，∠B、∠C的n等分線（n≥3）交于點P，求∠BPC的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)∠B、∠C的平分線交于點P與△ABC的內角和為180°，求得∠PBC+∠PCB的和，又由△PBC的內角和為180°，求得∠BPC的度數(shù)；
（2）首先根據(jù)∠B、∠C的三等分線分線交于點P，可得：

3

2

∠PBC=∠ABC，

3

2

∠PCB=∠ACB，又由△ABC的內角和為180°，求得∠PBC+∠PCB的和，又由△PBC的內角和為180°，求得∠BPC的度數(shù)；
（3）首先根據(jù)∠B、∠C的三等分線分線交于點P，可得：

n

n-1

∠PBC=∠ABC，

n

n-1

∠PCB=∠ACB，
又由△ABC的內角和為180°，求得∠PBC+∠PCB的和，又由△PBC的內角和為180°，求得∠BPC的度數(shù)．

解答：解：（1）∵∠B、∠C的平分線交于點P，
∴2∠PBC=∠ABC，2∠PCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+2∠PBC+2∠PCB=180°，
∵∠A=60°，
∴∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=120°；

（2）∵∠1=

1

3

∠ABC，∠2=

1

3

∠ACB，
∴

3

2

∠PBC=∠ABC，

3

2

∠PCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+

3

2

∠PBC+

3

2

∠PCB=180°，
∵∠A=60°，
∴∠PBC+∠PCB=80°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=100°；

（3）∵∠B、∠C的n等分線（n≥3）交于點P，
∴

n

n-1

∠PBC=∠ABC，

n

n-1

∠PCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+

n

n-1

∠PBC+

n

n-1

∠PCB=180°，
∵∠A=x°，
∴∠PBC+∠PCB=

n-1

n

•180°-

n-1

n

•x°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180o-

n-1

n

(180o-xo)=

1

n

180o+

n-1

n

•xo．

點評：此題考查了三角形內角和定理與角平分線的性質．解此題的關鍵是要注意數(shù)形結合思想的應用．