Question

4．以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)為E、F、G、H，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH．
（1）如圖①，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFCH是正方形，如圖②，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形EFGH的形狀（要求證明）；
（2）如圖③，當(dāng)四邊形ABCD是一般平行四邊形，四邊形EFCH是什么四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△AHD和△DGC是等腰直角三角形，得出∠EHG=90°，從而判定四邊形EFGH是矩形，再判斷出△AEB≌△DGC，得出HE=HG，即可推出結(jié)論，
（2）根據(jù)△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，求出∠HDG=90°+∠ADC=∠HAE，根據(jù)SAS證△HAE≌△HDG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出HE=HG；證明過(guò)程類似求出GH=GF，F(xiàn)G=FE，推出GH=GF=EF=HE，得出菱形EFGH，證△HAE≌△HDG，求出∠AHD=90°，∠EHG=90°，即可推出結(jié)論．

解答 證明：（1）四邊形EFGH是正方形；
理由：∵△AHD是等腰直角三角形，
∴∠HDA=∠HAD=45°，
∴∠EHG=90°，
同理：∠HEF=∠EFG=90°，
∴四邊形EFGH是矩形，
∵△AHD是等腰直角三角形，
∴HA=HD，
在矩形ABCD中，AB=CD，
在△AEB和△DGC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠GDC}\\{AB=CD}\\{∠EBA=∠GCD}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△DGC，
∴AE=DG，
∴HE=HG．
∴矩形EFGH是正方形．
（2）四邊形ABCD是正方形；
理由：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，
在平行四邊形ABCD中，AB=CD，
∴AE=DG，
∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形，
∴∠HDA=∠CDG=45°，
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+∠ADC=∠HAE，
∵△AHD是等腰直角三角形，
∴HA=HD，
∴△HAE≌△HDG，
∴HE=HG．
同理可得：GH=GF，F(xiàn)G=FE，
∵HE=HG，
∴GH=GF=EF=HE，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵△HAE≌△HDG，
∴∠DHG=∠AHE，
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，
∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，
∴四邊形EFGH是正方形

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題，主要考查對(duì)正方形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．